有限生成Able群的秩

先给出秩的定义：
设H是有限生成Able群，令H*是所有H到R的同态所组成的集合。（R看做加法群）可以证明H*是一个线性空间。这个线性空间的维数叫做H的秩，记作rankH。

例子：整数加群Z的秩
Z=<1>是有限生成的Able群。任意取Z*中一个同态[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}:Z%20\rightarrow%20R\][/IMG]，这个同态被其在生成元1上的值唯一确定[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}(a)=ax\][/IMG]，其中x是任意一个实数。
可以发现这个线性空间的基是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{1}\][/IMG]。因为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}=x\varphi_{1}\][/IMG]（其实[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{1}\][/IMG]是我为了方便而取的，任何一个非平凡的同态都可以）
所以Z的秩是1

大家看到了，一个最简单的有限生成Able群秩计算起来都很费力。下面就给出一个关于计算秩的简单方法：
设H是有限生成Able群，K是其子群，则
rankH=rankK+rank(H/K)
毕竟子群比原来的群要小，计算起来容易些。子群还可以继续往下再分，最终划分成几个小点的。

呵呵，最基本的内容

环中元素的阶是不是和环特征联系着？那个迪历克莱符号X念法是什麽？

多谢！

疑问越来越多了:

1
四元数才算体，可为何能把复数域叫他的子域？域比体条件更严，四元数要算域，才能把复数域叫他的子域啊

2
交换加群+可结合交换的乘法=G（+,*）=RING,那麽两个运算都是交换加G(+,+)，也可结合交换或其他些什麽运算，叫什麽？

3

环的中心C(R)定义和环中加群定义一样，是不是环的中心就是环中加群？

4

有幂零元就能求子环，理想是子环，环的理想都有方法求出吗？

距阵群不是A群，rank应该也能用，可下面为何不对啊

m1 := Matrix([[1,3,4,5,67,12],[13/23,33,81,8,89,7], [  1   ,3  , 0 , -4  , 2 ,-12],
[1/2,3,8,77,555,8], [1,31,14,34,678,4],[13/32,23,18,771,86,3]]);
m1;

s2:=Submatrix(m1, 3,3,3,4) ;
s2;
ss2:=Submatrix(s2, 2,2,2,2) ;
ss2;
sss2:=Submatrix(ss2, 1,2,0,1) ;
sss2;

Rank(m1);
Rank(s2);

Rank(ss2);
Rank(m1) eq (Rank(s2)+Rank(ss2)+Rank(sss2));

[    1     3     4     5    67    12]
[13/23    33    81     8    89     7]
[    1     3     0    -4     2   -12]
[  1/2     3     8    77   555     8]
[    1    31    14    34   678     4]
[13/32    23    18   771    86     3]
[  0  -4   2 -12]
[  8  77 555   8]
[ 14  34 678   4]
[ 77 555]
[ 34 678]
Matrix with 0 rows and 1 column
6
3
2
false

距阵群不是A群，rank应该也能用，可下面为何不对啊


m1 := Matrix([[1,3,4,5,67,12],[13/23,33,81,8,89,7], [ 1 ,3 , 0 , -4 , 2 ,-12],
[1/2,3,8,77,555,8], [1,31,14,34,678,4],[13/32,23,18,771,86,3]]);
m1;

一般线性群或者它的一些子群是非交换的，只有有限生成交换群采有秩。非交换的群是没有的。

环中元素的阶是不是和环特征联系着？

环中特征的定义：
R是环，称n是R的特征，若n是使得na=0的最小正整数，如果没有特征是0。

如果特征不是0，环中所有元中阶最大的就是特征。特征是0，环中就不存在阶最大的

那个迪历克莱符号X念法是什麽？

狄利克雷，我是这样念的。一个外国人名。

1
四元数才算体，可为何能把复数域叫他的子域？域比体条件更严，四元数要算域，才能把复数域叫他的子域啊

2
交换加群+可结合交换的乘法=G（+,*）=RING,那麽两个运算都是交换加G(+,+)，也可结合交换或其他些什麽运算，叫什麽？


3

环的中心C(R)定义和环中加群定义一样，是不是环的中心就是环中加群？

4

有幂零元就能求子环，理想是子环，环的理想都有方法求出吗？

1

我本人不喜欢体这个概念，它的定义，由于历史原因，不同的人给出的稍有不同（可除结合代数或非交换除环都叫过体），以至于引起误解。我是直接说环或域或代数，不说体。Frobenius定理给出了实数域上所有的有限可除结合代数，分别为R、C、Q。（Q就是你说的四元数体）实数域是复数域的子域，复数域是Q的子域。你说的问题就是由于体的定义引起的。Q是体，但是他也是域，所以说是R的子域

2

不论具体运算是什么，环中Able群的运算用+表示（以示交换性），乘法用*表示。应为他们都是同构的。

3

环中的加群是交换的，中心是自己。你觉得环的中心会是加群的中心吗，显然不是。
定义：C(R)={a[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\in\][/IMG]R|ax=xa,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall\][/IMG]x[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\in\][/IMG]R}
是乘法半群的中心

4

理想确实是子环，类似于群中的正规子群。环的理想一般不能求出，就像任给一个群一般求不出其正规子群一样。

谢！



其实我想问的有限生成交换群的RANK 和线性代数里的RANK的区别，您再给说说，

你给公式rankH=rankK+rank(H/K)适用于有限生成交换群秩，极大无关组中向量的个数为非交换线性代数的秩的有没公式？

华罗庚据说是体大师。。。。
体、斜域，区，都有翻译的问题，就像同态（映射），让人迷糊，】
复数域是Q的子域，书上定义只用了a+bi+cj+dk四个单位中的2项：a+bi的复数域是Q的a1+bi的子域，不好懂。。。

K := FiniteField(5);
> GL := GeneralLinearGroup(4, K);

> GL ;
x:= elt<GL | 5,6,1, 2,1,4, 11,10,1, 3,4,5, 4,5,6, 6>;
> x;

m := MatrixGroup< 3, K | [1,3,2, 23,1,2, 1,5^2,1], [2,0,0, 14,1,10, 10,0,33] >;
m;
O1:=Order(GL);
FactoredOrder(GL);

O2:=Order(m);
FactoredOrder(m);

Generic(GL);
Parent(GL);
Generic(m);
Parent(m);
CoefficientRing(GL);
CoefficientRing(m);
Generators(GL);
Generators(m);
NumberOfGenerators(GL);
NumberOfGenerators(m);
Degree(GL);
Degree(m);
RSpace(GL) ;
RSpace(m) ;
VectorSpace(GL);
VectorSpace(m);
GModule(GL) ;
GModule(m) ;

GL(4, GF(5))
[0 1 1 2]
[1 4 1 0]
[1 3 4 0]
[4 0 1 1]
MatrixGroup(3, GF(5))
Generators:
    [1 3 2]
    [3 1 2]
    [1 0 1]

    [2 0 0]
    [4 1 0]
    [0 0 3]
[ <2, 11>, <3, 2>, <5, 6>, <13, 1>, <31, 1> ]
[ <2, 5>, <3, 1>, <5, 3>, <31, 1> ]
MatrixGroup(4, GF(5)) of order 2^11 * 3^2 * 5^6 * 13 * 31
Generators:
    [2 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]
    [0 0 0 1]

    [4 0 0 1]
    [4 0 0 0]
    [0 4 0 0]
    [0 0 4 0]
Power Structure of GrpMat
GL(3, GF(5))
Power Structure of GrpMat
Finite field of size 5
Finite field of size 5
{
    [2 0 0 0]
    [0 1 0 0]
    [0 0 1 0]
    [0 0 0 1],

    [4 0 0 1]
    [4 0 0 0]
    [0 4 0 0]
    [0 0 4 0]
}
{
    [2 0 0]
    [4 1 0]
    [0 0 3],

    [1 3 2]
    [3 1 2]
    [1 0 1]
}
2
2
4
3
Full Vector space of degree 4 over GF(5)
Full Vector space of degree 3 over GF(5)
Full Vector space of degree 4 over GF(5)
Full Vector space of degree 3 over GF(5)
GModule of dimension 4 over GF(5)
GModule of dimension 3 over GF(5)

其实我想问的有限生成交换群的RANK 和线性代数里的RANK的区别，您再给说说，

你可以再看看我下的定义，这两个本质是一样的。有限生成交换群的RANK说白了，就是那个自同态向量空间的秩。有限生成交换群的RANK ，应该说是向量空间秩的一个应用吧。

其实我想问的有限生成交换群的RANK 和线性代数里的RANK的区别，您再给说说，

你可以再看看我下的定义，这两个本质是一样的。有限生成交换群的RANK说白了，就是那个同态向量空间的秩。有限生成交换群的RANK ，应该说是向量空间秩的一个应用吧。

你给公式rankH=rankK+rank(H/K)适用于有限生成交换群秩，极大无关组中向量的个数为非交换线性代数的秩的有没公式？

当然有了，是什么我记不得了。就是子空间和原来的空间的一个秩的关系，线性代数书上应该有的。和这个类似。其实这个公式就是向量空间这个一般的公式在有限生成交换群与R的同态空间End（F，R）的一个应用

置换群、对称群、变换群

我的忘性真大，写了这么多，才发现置换群还没写呢。真是愧对大家了。现在赶紧补上吧

对称群定义：
对称群是最基本的一类群，设X是一个非空的集合，X中的全体可逆变换（或者叫可逆映射）组成了集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}\][/IMG]。这个集合中的变换按映射的合成运算构成了一个群。叫对称群，单位元是恒等映射，逆元是逆映射。

变换群定义：[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}\][/IMG]的子群叫变换群。

变换群之所以重要，是应为有一个群表示定理：Cayley 定理

任意一个群同构于一个变换群
证明：设G是一个群，[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20g\in%20G\][/IMG]定义左平移映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{g}%20:G\rightarrow%20G\][/IMG]为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{g}%20(x)=gx\][/IMG]，显然，左平移是可逆映射。
定义集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}=\{\varphi_{g}|g\in%20G\}\][/IMG]，现在证明[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}\][/IMG]是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{G}\][/IMG]的子群：设e是G的单位元，则恒等变换[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{e}=\iota%20\in%20S_{G}\][/IMG]
由于：[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20x\in%20G\][/IMG]，有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{a}\varphi_{b}(x)=\varphi_{a}(bx)=abx=\varphi_{ab}(x)\][/IMG]，所以[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{a}\varphi_{b}=\varphi_{ab}\][/IMG]
进一步，在上边吧b取成a的逆[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a^{-1}\][/IMG] 就有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[(\varphi_{a})^{-1}%20=\varphi_{a^{-1}%20}\][/IMG]这说明乘法与取逆的运算都是封闭的。从而是子群

下面证明G与[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}\][/IMG]同构（google  chart居然不支持同构符号，倒霉）
定义映射：[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta:G\rightarrow%20G_{l}\][/IMG]为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(g)=\varphi_{g}\][/IMG]，其中g属于G
（1）保持运算
其实前边已经给出了：[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(ab)=\varphi_{ab}=\varphi_{a}\varphi_{b}=\theta(a)\theta(b)\][/IMG]

（2）满射
[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20\varphi_{a}\in%20G_{l}\][/IMG]，有a属于G，从而[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(a)=\varphi_{a}\][/IMG]

（3）单射
设[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a,b\in%20G\][/IMG]，如果[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(a)=\theta(b)\][/IMG]，也就是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20\varphi_{a}=\varphi_{b}\][/IMG]，都作用到单位元e上，就有a=b

谢！越来越难。。。

不过先问简单的群在集合上的作用，一般都考虑|G|=|X|，可也可以不相等，居然还有群在群作用，这些作用就是群表示吗？

P:=PermutationGroup< 3 | (1,2) >;
P;
GSet(P);

SET:={1,2,3};
SET;
GS:=GSet(P, SET) ;
GS;
Action(GS) ;
Group(GS);
Support(P);
Support(P, GS) ;
Orbit(P, GS, 1) ;
Orbit(P, GS, 2) ;
Orbit(P, GS, 3) ;

Orbits(P, GS) ;
Orbit(P, 1) ;
Orbit(P, 2) ;
Orbit(P, 3) ;
Orbits(P) ;

Stabilizer(P, GS, 1) ;
Stabilizer(P, GS, 2) ;
Stabilizer(P, GS, 3) ;

Stabilizer(P, GS) ;
Stabilizer(P, 1) ;
Stabilizer(P, 2) ;
Stabilizer(P, 3) ;
Stabiliser(P, 1);
Stabiliser(P, 3);

Transitivity(P) ;
Transitivity(P, GS) ;

IsPrimitive(P, GS) ;
IsTransitive(P, GS) ;
IsFrobenius(P) ;

Stabilizer(P, [1,2]);
Stabilizer(P, [3,2]);
Stabilizer(P, [1,3]);
Stabilizer(P, [1,2,3]);
Stabilizer(P, [[1],[2]]);
Stabilizer(P, [1,2,0]);
Orbit(P, [1,2,3]) ;

Action(P, GS) ;

Permutation group P acting on a set of cardinality 3
    (1, 2)
GSet{@ 1, 2, 3 @}
{ 1, 2, 3 }
GSet{@ 1, 2, 3 @}
Mapping from: Cartesian Product<{@ 1, 2, 3 @}, GrpPerm: P, Degree 3> to {@ 1, 2,
3 @}
Permutation group P acting on a set of cardinality 3
    (1, 2)
{ 1, 2 }
{ 1, 2 }
GSet{@ 1, 2 @}
GSet{@ 2, 1 @}
GSet{@ 3 @}
[
    GSet{@ 3 @},
    GSet{@ 1, 2 @}
]
GSet{@ 1, 2 @}
GSet{@ 2, 1 @}
GSet{@ 3 @}
[
    GSet{@ 3 @},
    GSet{@ 1, 2 @}
]
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 2
    (1, 2)
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 2
    (1, 2)
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group P acting on a set of cardinality 3
Order = 2
    (1, 2)
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group P acting on a set of cardinality 3
Order = 2
    (1, 2)
0
0
false
false
false
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 3
Order = 1

>> Stabilizer(P, [1,2,0]);
             ^
Runtime error in 'Stabilizer': Cannot compute stabilizer of this object

GSet{@
    [ 1, 2, 3 ],
    [ 2, 1, 3 ]
@}
Mapping from: GrpPerm: P to GrpPerm: $, Degree 3

P:=PermutationGroup< 5 | (1,2,4) >;
P;
GSet(P);

SET:={1,2,3,4,5};
SET;
GS:=GSet(P, SET) ;
GS;
Action(GS) ;
Group(GS);
Support(P);
Support(P, GS) ;
Orbit(P, GS, 1) ;
Orbit(P, GS, 2) ;
Orbit(P, GS, 3) ;

Orbits(P, GS) ;
Orbit(P, 1) ;
Orbit(P, 2) ;
Orbit(P, 3) ;
Orbits(P) ;

Stabilizer(P, GS, 1) ;
Stabilizer(P, GS, 2) ;
Stabilizer(P, GS, 3) ;

Stabilizer(P, GS) ;
Stabilizer(P, 1) ;
Stabilizer(P, 2) ;
Stabilizer(P, 3) ;
Stabiliser(P, 1);
Stabiliser(P, 3);

Transitivity(P) ;
Transitivity(P, GS) ;

IsPrimitive(P, GS) ;
IsTransitive(P, GS) ;
IsFrobenius(P) ;

Stabilizer(P, [1,2]);
Stabilizer(P, [3,2]);
Stabilizer(P, [1,3]);
Stabilizer(P, [1,2,3]);
Stabilizer(P, [[1],[2]]);
Stabilizer(P, [1,2,0]);
Orbit(P, [1,2,3]) ;

Action(P, GS) ;

Permutation group P acting on a set of cardinality 5
    (1, 2, 4)
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5 @}
{ 1, 2, 3, 4, 5 }
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5 @}
Mapping from: Cartesian Product<{@ 1, 2, 3, 4, 5 @}, GrpPerm: P, Degree 5> to {@
1, 2, 3, 4, 5 @}
Permutation group P acting on a set of cardinality 5
    (1, 2, 4)
{ 1, 2, 4 }
{ 1, 2, 4 }
GSet{@ 1, 2, 4 @}
GSet{@ 2, 4, 1 @}
GSet{@ 3 @}
[
    GSet{@ 3 @},
    GSet{@ 5 @},
    GSet{@ 1, 2, 4 @}
]
GSet{@ 1, 2, 4 @}
GSet{@ 2, 4, 1 @}
GSet{@ 3 @}
[
    GSet{@ 3 @},
    GSet{@ 5 @},
    GSet{@ 1, 2, 4 @}
]
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 3
    (1, 2, 4)
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 3
    (1, 2, 4)
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group P acting on a set of cardinality 5
Order = 3
    (1, 2, 4)
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group P acting on a set of cardinality 5
Order = 3
    (1, 2, 4)
0
0
false
false
false
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1
Permutation group acting on a set of cardinality 5
Order = 1

>> Stabilizer(P, [1,2,0]);
             ^
Runtime error in 'Stabilizer': Cannot compute stabilizer of this object

GSet{@
    [ 1, 2, 3 ],
    [ 2, 4, 3 ],
    [ 4, 1, 3 ]
@}
Mapping from: GrpPerm: P to GrpPerm: $, Degree 5

P:=PermutationGroup< 6 | (1,2,4) >;
P;
Orbits(P);
P1:=PermutationGroup< 7 | (3,2,4,1) >;
P1;
Orbits(P1);
P2:=PermutationGroup< 8 | (2,4,7,3,5,6) >;
P2;
Orbits(P2);
Stabilizer(P, 1);
Stabilizer(P1, 6);
Stabilizer(P1, 5);
Stabilizer(P2, 8);

Permutation group P acting on a set of cardinality 6
    (1, 2, 4)
[
    GSet{@ 3 @},
    GSet{@ 5 @},
    GSet{@ 6 @},
    GSet{@ 1, 2, 4 @}
]
Permutation group P1 acting on a set of cardinality 7
    (1, 3, 2, 4)
[
    GSet{@ 5 @},
    GSet{@ 6 @},
    GSet{@ 7 @},
    GSet{@ 1, 3, 2, 4 @}
]
Permutation group P2 acting on a set of cardinality 8
    (2, 4, 7, 3, 5, 6)
[
    GSet{@ 1 @},
    GSet{@ 8 @},
    GSet{@ 2, 4, 7, 3, 5, 6 @}
]
Permutation group acting on a set of cardinality 6
Order = 1
Permutation group P1 acting on a set of cardinality 7
Order = 4 = 2^2
    (1, 3, 2, 4)
Permutation group P1 acting on a set of cardinality 7
Order = 4 = 2^2
    (1, 3, 2, 4)
Permutation group P2 acting on a set of cardinality 8
Order = 6 = 2 * 3
    (2, 4, 7, 3, 5, 6)

不过先问简单的群在集合上的作用，一般都考虑|G|=|X|，可也可以不相等，居然还有群在群作用，这些作用就是群表示吗？

群在集合上的作用我先讲完了置换群再讲吧，不过先告诉你群在集合上的作用不是群表示。

群表示是任给一个群，设法却定它的结构。像Cayley定理，这就是置换表示。前边我还说过自由Able群和有限生成Able群的结构，这是直和表示。还有一些Lie群的矩阵表示（这个应该最有名，甚至有人定义Lie群就是直接用他的矩阵表示）

置换群、对称群、变换群（续）

前边说了，对称群是非空集合X上的全部可逆变换按映射合成构成的群。如果集合X={1,2,...n}那么这个群就叫置换群
Cayley定理指出任意一个群都同构于一个变换群，由于结构与选取的集合X无关，所以可以认为同构于一个置换群。

置换群中的元素都是映射，写起来不方便，下面给出记号：
为了说的方便，我举一个例子
S5中的一个元素：
1         2         3         4         5
|          |          |          |         |
2         5         1         3         4
这个映射把1映射为2,2映射为5....
用记号(1,2,5,4,3)来表示这个置换。1后边是2，就是1映射为2,2后边是5，就是2映射为5，等等。最后一个元映射为第一个。
自己映射为自己的元素就省略掉
例子：S3的全部元素
(1) (12) (23) (13) (123) (132)

大家看到了S3有6个元素，正好是3!
这不是偶然的，n次对称群Sn就是有n!个元素。原因是这些可逆变换与集合X的排列之间有一个双射。

两个置换的乘积在一个元上的作用按从右到左依次作用，例如前边S3中的(12)和(123)的乘积在1上的作用：
((12)(123))(1)=(12)(2)=1
这里我说两句，其实现代数学是普遍使用的左表示。像前面应该是从左到右才符合习惯，但是由于历史原因，只能这样将就了。
这种例子有很多，像我们平时在熟悉不过的函数f(x),其实按现代数学左表示的习惯，应该写成(x)f。这种写法我估计大家都看不顺眼。
在国内的书中，我只见过一本是这种表示，叫《环与代数》。谁写的我忘了。

这种表示置换的方法叫轮换，长度是r的叫r-轮换，2-轮换叫对换。

z:=IntegerRing(15);
z;

UnitGroup(z);
zz:=IntegerRing();
zz;

ClassGroup(zz) ;
Signature(zz) ;
sub< z | 2 >;
sub< zz | 2 >;
szz3:=sub< zz | 3 >;

sz3:=sub< z | 3 >;
sz6:=sub< z | 6 >;
szz6:=sub< zz | 6 >;
Characteristic(z) ;
Characteristic(zz) ;
Characteristic(sz3) ;
Characteristic(szz3) ;
IsUnitary(z);
IsUnitary(zz);
IsUnitary(szz3);
IsUnitary(sz3);
IsEuclideanDomain(z) ;
IsEuclideanDomain(zz) ;
IsEuclideanDomain(szz3) ;
IsEuclideanDomain(sz3) ;
IsEuclideanDomain(sz6);
IsEuclideanDomain(szz6);
IsPID(z);
IsPID(zz);
IsPID(sz3);
IsPID(szz3);
IsPID(sz6);
IsPID(szz6);

IsUFD(z);
IsUFD(zz);
IsUFD(sz3);
IsUFD(szz3);
IsUFD(sz6);
IsUFD(szz6);

IsEuclideanRing(z) ;
IsEuclideanRing(zz) ;
IsEuclideanRing(szz3) ;
IsEuclideanRing(sz3) ;
IsEuclideanRing(szz6) ;
IsEuclideanRing(sz6) ;

IsPrincipalIdealRing(z);
IsPrincipalIdealRing(zz);
IsPrincipalIdealRing(sz3);
IsPrincipalIdealRing(szz3);
IsPrincipalIdealRing(sz6);
IsPrincipalIdealRing(szz6);

Residue class ring of integers modulo 15
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/4
Defined on 2 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
    4*$.2 = 0
Integer Ring
Abelian Group of order 1
1 0
Residue class ring of integers modulo 15
Ideal of Integer Ring generated by 2
Mapping from: Ideal of Integer Ring generated by 2 to RngInt: zz
15
0
15
0
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true

z:=IntegerRing(120);
z;

UnitGroup(z);
zz:=IntegerRing();
zz;

ClassGroup(zz) ;
Signature(zz) ;
sub< z | 2 >;
sub< zz | 2 >;
szz3:=sub< zz | 3 >;

sz3:=sub< z | 3 >;
sz6:=sub< z | 6 >;
szz6:=sub< zz | 6 >;
Characteristic(z) ;
Characteristic(zz) ;
Characteristic(sz3) ;
Characteristic(szz3) ;
IsUnitary(z);
IsUnitary(zz);
IsUnitary(szz3);
IsUnitary(sz3);
IsEuclideanDomain(z) ;
IsEuclideanDomain(zz) ;
IsEuclideanDomain(szz3) ;
IsEuclideanDomain(sz3) ;
IsEuclideanDomain(sz6);
IsEuclideanDomain(szz6);
IsPID(z);
IsPID(zz);
IsPID(sz3);
IsPID(szz3);
IsPID(sz6);
IsPID(szz6);

IsUFD(z);
IsUFD(zz);
IsUFD(sz3);
IsUFD(szz3);
IsUFD(sz6);
IsUFD(szz6);

IsEuclideanRing(z) ;
IsEuclideanRing(zz) ;
IsEuclideanRing(szz3) ;
IsEuclideanRing(sz3) ;
IsEuclideanRing(szz6) ;
IsEuclideanRing(sz6) ;

IsPrincipalIdealRing(z);
IsPrincipalIdealRing(zz);
IsPrincipalIdealRing(sz3);
IsPrincipalIdealRing(szz3);
IsPrincipalIdealRing(sz6);
IsPrincipalIdealRing(szz6);

Modulus(sz3) ;
Modulus(sz6) ;

Residue class ring of integers modulo 120
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z/2 + Z/4
Defined on 4 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
    2*$.2 = 0
    2*$.3 = 0
    4*$.4 = 0
Integer Ring
Abelian Group of order 1
1 0
Ideal of residue class ring of integers modulo 120 generated by 2
Ideal of Integer Ring generated by 2
Mapping from: Ideal of Integer Ring generated by 2 to RngInt: zz
120
0
120
0
true
true
false
false
false
true
true
false
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
false
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
true
120
120
http://jsjxy.cug.edu.cn/jxkj/ma/jiaoan/L1%20algebra.pdf
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB%E7%90%86%E6%83%B3%E7%92%B0

置换群、对称群、变换群（续2）

轮换、对换

下面这个结论很基础:
每一个置换都可以表示成一些不相交的轮换的乘积。

例子：
1      2      3      4       5        6       7        8
|       |       |       |       |         |        |         |        
2      5      6      8       1        3       7        4
表示为不相交的轮换乘积为(1 2 5)(3 6)(4 8)

定理：每个置换都可表示为一些对换的乘积
证明：首先可以表示成不相交的轮换的乘积，如果每个轮换都能表示成对换的乘积，那么问题解决了。
设[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sigma=(i_{1}%20i_{2}%20\cdots%20i_{n})\][/IMG]是r-轮换，
那么[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sigma=(i_{1}%20i_{2})(i_{2}%20i_{3})\cdots%20(i_{n-1}%20i_{n})\][/IMG]

上面的证明过程是构造的过程，然而并不是就这一种办法能表示成对换的乘积。
一个置换可能有好几种表示方法。但是这些方法中所用的对换的个数的奇偶性是不变的。

道理很简单，首先一个置换如果乘上一个对换，那么它的奇偶性会改变。
如果一个置换表示成了两种轮换的乘积。那么由于他们是相等的，其中一个如果乘上单位元(1)后还是相等的
只要注意到单位元(1)=(12)(12)就出来了，应为它乘了两个轮换所以奇偶性不变。

奇置换、偶置换、交错群

可以表示成奇数个对换乘积的置换叫奇置换，偶数个对换乘积的置换叫偶置换

Sn的全部偶置换组成的集合记作An
An是一个Sn的子群，应为偶置换与偶置换相乘还是偶置换，单位元(1)是偶置换，偶置换的逆还是偶置换。
这个子群An叫n次交错群。（n不等于4时是单群，是4类有限单群之一，A4有一个正规子群是{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}）
An是Sn的一个正规子群。

奇置换所组成的集合不是一个群，应为单位元就不在那里。

下面我介绍一下Sn和An的生成元作为置换群的结束吧

Sn=<(12),(13).....(1n)>
An=<(123),(124)......(12n)>

再问个商群问题：下面图当S3/A3这商集可成商群S3/A3={A3,(12)A3};如果下图运算成立的同时，那商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群？

再问个商群问题：下面图当S3/A3这商集可成商群S3/A3={A3,(12)A3};如果下图运算成立的同时，那商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群？

两抽象表：
1 B C D E A
1 B C D E A
B D E 1 A C
C E 1 A B D
D 1 A B C E
E A B C D 1
A C D E 1 B
$
0
2
3
4
5
1
The Group Z6

1 A B C D E
1 A B C D E
A B 1 D E C
B 1 A E C D
C E D 1 B A
D C E A 1 B
E D C B A 1
$
R0
R240
R120
F1
F2
F3
The Dihedral Group D_3
The Group of Symmetries of an Equilateral Triangle.
The Rx denotes clockwise rotation by x degrees and Fi a flip about vertex i.
(Vertices are numbered clockwise)

上传的附件：

• 11.JPG （21.61kb，23次下载）

把图帖这，慢慢看

上传的附件：

• illustration-multhigh1.png （169.32kb，23次下载）
• 1212.JPG （46.76kb，23次下载）

再问个商群问题：下面图当S3/A3这商集可成商群S3/A3={A3,(12)A3};如果下图运算成立的同时，那商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群？

你可能不明白S3/A3到底是什么。你上边写的S3/A3={A3,(12)A3}  然后又说商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群，我要告诉你的是(12)A3=(13)A3=(23)A3
S3/A3同构于Z2

复数域是在实数域R上以Z2或者说是{(1),(12)}为基生成的有限可除结合代数，Q是由在R上以四元数群为基生成的有限结合可除代数。所以是Q的子域

今天得知我考博被英语挂掉，有如五雷轰顶。狗屁英语，想当年我考研就被它所害，今天又来害我，我这辈子狠透了英语，再也不想看见这东西了。
本来今天我打算写群在集合上的作用以及Sylow定理的，现在没心情了。

能不能从除环和扩域方面理解啊。。。

交换代数没学，中文就那一本黄皮小薄本，翻了翻

交换有限可除结合代数基是交换有限可除结合代数基的子集，能成子域，域，扩域，还能理解

非交换有限可除结合代数基是交换有限可除结合代数基的子集，能成子域，域，扩域吗?

交换有限可除结合代数基是非交换有限可除结合代数基的子集，能成子域，域，扩域吗?