一些基本的结论：
    元素的阶整除群的阶
    子群的阶整除群的阶
    模n剩余类群的生成元为1
    模n剩余类群中，若n为素数，则除单位元0外全是生成元，也就是说Zp（p为素数）构成一个域
  n阶循环群同构于模n剩余类群Zn，无限阶循环群同构于整数加群。所以循环群本质上只有两个
  循环群的元素a^r是生成元当且仅当r与n互素，其中n为群的阶

嗯, 我们上学期就学了抽象代数 , 一些定理都忘了...

群论要讲清楚比较难。。。

一个群的例子：循环群
    一个群若只有一个生成元就叫循环群。昨天有人问模n剩余类群的元素的阶的问题，现在我就详细的说说。
    首先给出模n剩余类群的定义：n是一个正整数，对于任意一个正整数，被n除后余数会有几种可能，0、1....n-1。所有的这些剩余类所构成的集合叫模n剩余类群。其中的乘法运算定义为：相加后再和n求模。
    举个例子：Z5，模5剩余类群。4与3相乘结果为2
     由于循环群是Able群，其中的运算一般也就写为加法。
   Z5中的生成元：1首先肯定是，2=1+1、3=1+1+1、4=1+1+1+1、0=1+1+1+1+1
    2也是4=2+2、1=2+2+2、3=2+2+2、0=2+2+2+2
   不难发现Z5的生成元是1、2、3、4
   有限阶的循环群和模n剩余类群同构，所以只需分析模n剩余类群就可以获得所有有限阶群得结构，这也是我为什么要举模5剩余类群的例子。
  Zn中的全部生成元：r是元的充分必要条件是r与n互素。
  说了这么多，也不知道我说明白了没有，现在就回答模n剩余类群元素阶的问题，任意一个元素都可以生成这个群的一个子群。子群的阶是要整除n的，而那个元素的阶和生成的子群的阶是一样的，所以不会有元素阶大于n。

谢谢！

我这几周梦中都是群。。。。

要例子，没例子，看懂了也不算学会了

谢谢

感觉用工具学才好 ，就象线性代数，我们的教科书误人子弟，用MALAB/MAPLE工具才显威力。赶上潮流才行，要不总再64卦周易里转，像同态的核，理想。。。。例子都不好懂

唠骚几句：

像陶轩哲关于素数获菲尔兹奖，我国的素数家王元（60多了吧）被采访时说了，他的方法非常新，不好懂啊
庞加来猜想的那个俄国。。夫，用的也是刚在前几个月才被别人论文得出的结果
费马大定理更是几个大家互相交流得出的结果

有限单群分类定理：15000页  

300页下的抽象代数教科书才仅能讲点26个散单群名称

韩国人日本人在26个散单群里有名字，日本人在代数素论更是牛

就像编译器，还没搞懂CPU微指令，可新书上又说了，GPU将和CPU抢地盘了，刚想翻翻编译器原理，可INTEL又多核了，那个高纳德都反对多核，可现谁不是多核呢

虽说不和他们比，可你只要看书，就总在吊人胃口。。

感觉是群论是一种思想，和老马有非常不一至的地方，所以国家不太提倡学的太深了，国产抽象代数教科书没厚的

可能我说的太抽象了，这几天忙着我的论文，没时间，过几天我给几个例子

群论不光光是一种思想，群的精髓在于它是有结构的集合。

同态、同构

论坛的贴子不能写数学公式，说又说不明白，这让我很是为难

先给出定义：称两个群同态，若存在一个映射（称为同态映射）可以保持群的运算。f(ab)=f(a)f(b)
若同态映射是一个双射，称为同构。

举个例子：R是全体实数的加法群，R+是全体正实数的乘法群。定义R到R+的映射f，f(a)=2^a
由于f(a+b)=2^(a+b)=2^a 2^b，所以f保持运算，是一个同态映射。
进一步，f还是双射。从而f是同构。

同构将单位元变为单位元，将逆元变为逆元。

同态的核：群G与H同态，f为其同态映射，e是H的单位元。集合K={g|f(g)=e}为f的核。
说白了，核就是能够被映射f变成单位元的元素。

举个例子：
刚才给出的R到R+的同构映射f的核：R+是全体正实数的乘法群，单位元是1。只有2的0次方才是1，所以f的核只有一个元素：单位元0

这个例子中同构映射f的核是单位元并不是偶然的，只要是同构，核都是单位元。
另外核是单位元可以推出同态是单射。如果已经证明了是满射，那么就可以得出映射是同构。

一次多写点，整理一下 让我等菜菜学习一下。。。我感觉大学里的离散数学讲的太基础了。。什么群论深入点的介绍都感觉为0.。。。期待学习。。。。。

谢！

有没有非满射又非单射的同态呢？

问问有没有有限生成阿贝尔群：这个有限生成阿贝尔群各种同构群的子群阶都是有限的？

再问下下面的分解成不相交轮换乘积的过程：

（1965）（1487）（1923）=（165）（234879）

S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
S9 := Sym({ "a", "b", "c", "d" , "e", "f", "g", "h"});
> S9;
DirectProduct(S4, S9);
DirectProduct(S9, S4);
S12 := Sym(12);
S12;

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
Symmetric group S9 acting on a set of cardinality 8
Order = 40320 = 2^7 * 3^2 * 5 * 7
Permutation group acting on a set of cardinality 12
Order = 967680 = 2^10 * 3^3 * 5 * 7
    (1, 2, 3, 4)
    (1, 2)
    (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
    (5, 6)
Permutation group acting on a set of cardinality 12
Order = 967680 = 2^10 * 3^3 * 5 * 7
    (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
    (1, 2)
    (9, 10, 11, 12)
    (9, 10)
Symmetric group S12 acting on a set of cardinality 12
Order = 479001600 = 2^10 * 3^5 * 5^2 * 7 * 11

搞懂一个

1-----9-----9--------6
2-------3-------3-------3
3--------1--------4--------4
4--------4-----------8-----8
5---------5------5---------1
6--------6--------6------5
7--------7------1--------9
8-----------8------7--------7
9--------2----------2--------2

(165)（348792）

再来一个试试：

（1924）（17659）（1238）

学会验了：
G := PermutationGroup< 9 | (1,9,6,5),(1,4,7,8),(1,9,2,3)>;
G;
GSet(G);
G.1;
G.2;
G.3;
G.3*G.2*G.1;
G.1*G.2*G.3;

Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 6, 5)
    (1, 4, 7, 8)
    (1, 9, 2, 3)
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 @}
(1, 9, 6, 5)
(1, 4, 7, 8)
(1, 9, 2, 3)
(1, 6, 5)(2, 3, 4, 7, 8, 9)
(1, 2, 3)(4, 7, 8, 9, 6, 5)

Parent(G321);
Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 6, 5)
    (1, 4, 7, 8)
    (1, 9, 2, 3)

1---------2---------2------------4
2--------------3-------------3--------------3
3----------------8---------8--------8
4-----------------4--------------4----1
5----------------------5-------9-------2
6---------6--------5--------------5
7----------7--------6--------6
8--------------1------7--------7
9--------9------1----------9

（14）（238765）对

G := PermutationGroup< 9 | (1,9,2,4),(1,7,6,5,9),(1,2,3,8)>;
G;
GSet(G);
G.1;
G.2;
G.3;
G.3*G.2*G.1;
G.1*G.2*G.3;

Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 2, 4)
    (1, 7, 6, 5, 9)
    (1, 2, 3, 8)
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 @}
(1, 9, 2, 4)
(1, 7, 6, 5, 9)
(1, 2, 3, 8)
(1, 4)(2, 3, 8, 7, 6, 5)
(1, 2, 4, 7, 6, 5, 9, 3, 8)

Parent(G321);
Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 2, 4)
    (1, 7, 6, 5, 9)
    (1, 2, 3, 8)

=============

G := PermutationGroup< 9 | (1,9,2,4),(1,7,6,5,9),(1,2,3,8)>;
G;
G1 := PermutationGroup< 9 | (1,9,6,5),(1,4,7,8),(1,9,2,3)>;
G1;

GSet(G);
G.1;
G.2;
G.3;
G321:=G.3*G.2*G.1;
G321;
Generic(G);

G.1*G.2*G.3;
Parent(G321);
Degree(G);
Generators(G);
IsAbelian(G) ;
IsCyclic(G);
GSet(G1);
G1.1;
G1.2;
G1.3;
G1321:=G1.3*G1.2*G1.1;
G1321;
Generic(G1);

G1.1*G1.2*G1.3;
Parent(G1321);
Degree(G1);
Generators(G1);
IsAbelian(G1) ;
IsCyclic(G);

Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 2, 4)
    (1, 7, 6, 5, 9)
    (1, 2, 3, 8)
Permutation group G1 acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 6, 5)
    (1, 4, 7, 8)
    (1, 9, 2, 3)
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 @}
(1, 9, 2, 4)
(1, 7, 6, 5, 9)
(1, 2, 3, 8)
(1, 4)(2, 3, 8, 7, 6, 5)
Symmetric group acting on a set of cardinality 9
Order = 362880 = 2^7 * 3^4 * 5 * 7
(1, 2, 4, 7, 6, 5, 9, 3, 8)
Permutation group G acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 2, 4)
    (1, 7, 6, 5, 9)
    (1, 2, 3, 8)
9
{
    (1, 7, 6, 5, 9),
    (1, 9, 2, 4),
    (1, 2, 3, 8)
}
false
false
GSet{@ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 @}
(1, 9, 6, 5)
(1, 4, 7, 8)
(1, 9, 2, 3)
(1, 6, 5)(2, 3, 4, 7, 8, 9)
Symmetric group acting on a set of cardinality 9
Order = 362880 = 2^7 * 3^4 * 5 * 7
(1, 2, 3)(4, 7, 8, 9, 6, 5)
Permutation group G1 acting on a set of cardinality 9
    (1, 9, 6, 5)
    (1, 4, 7, 8)
    (1, 9, 2, 3)
9
{
    (1, 4, 7, 8),
    (1, 9, 2, 3),
    (1, 9, 6, 5)
}
false
false

最近我很忙，一直没时间写，搞得大家都嫌我每次都写得太少，实在不好意思，现在回答问题：

既不是单射又不是满射的同态是存在的，并且大部分同态都是这样

关于有限生成Able群有一个结构定理：有限生成Able群同构于一些循环群的直和，并且这些循环群中如果有些是有限阶的，那么总可以使得它们的阶m1、m2、m3...，有m1|m2|m3|.....成立。

你问的那个问题不应叫同构群的子群，我说了是一些Able群的直和。当然可以有无限阶的。有限生成Able群的意思是由有限个生成，并不是说群必须是有限阶

不想交的轮换等我写置换群的时候我再细细说吧

有限生成Able群，我不打算说了，因为表示论需要很多基础，我说了你们也看不太清楚

谢！

看到书上有求Z4------->Z6的同态，也有求Z6-------->Z4同态,可没细说，搞不懂，能不能给列列有哪些？



z:=Integers(4) ;
z4:=AdditiveGroup(z);
z4;
Generators(z4);
NumberOfGenerators(z4) ;
Centre(z4);
Subgroups(z4);
AutomorphismGroup(z4);

Abelian Group isomorphic to Z/4
Defined on 1 generator
Relations:
    4*z4.1 = 0
{
    z4.1
}
1
Abelian Group isomorphic to Z/4
Defined on 1 generator
Relations:
    4*z4.1 = 0
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 4            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/4
        Defined on 1 generator
        Relations:
            4*z4.1 = 0
[2]     Order 2            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/2
        Defined on 1 generator in supergroup z4:
            $.1 = 2*z4.1
        Relations:
            2*$.1 = 0
[3]     Order 1            Length 1
        Abelian Group of order 1
A group of automorphisms of Abelian Group isomorphic to Z/4
Defined on 1 generator
Relations:
    4*z4.1 = 0
Generators:
    Automorphism of Abelian Group isomorphic to Z/4
    Defined on 1 generator
    Relations:
        4*z4.1 = 0 which maps:
        z4.1 |--> 3*z4.1

z:=Integers(6) ;
z6:=AdditiveGroup(z);
z6;
Generators(z6);
NumberOfGenerators(z6) ;
Centre(z6);
Subgroups(z6);
AutomorphismGroup(z6);

Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 1 generator
Relations:
    6*z6.1 = 0
{
    z6.1
}
1
Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 1 generator
Relations:
    6*z6.1 = 0
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/6
        Defined on 1 generator
        Relations:
            6*z6.1 = 0
[2]     Order 3            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3
        Defined on 1 generator in supergroup z6:
            $.1 = 2*z6.1
        Relations:
            3*$.1 = 0
[3]     Order 2            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/2
        Defined on 1 generator in supergroup z6:
            $.1 = 3*z6.1
        Relations:
            2*$.1 = 0
[4]     Order 1            Length 1
        Abelian Group of order 1
A group of automorphisms of Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 1 generator
Relations:
    6*z6.1 = 0
Generators:
    Automorphism of Abelian Group isomorphic to Z/6
    Defined on 1 generator
    Relations:
        6*z6.1 = 0 which maps:
        3*z6.1 |--> 3*z6.1
        2*z6.1 |--> 4*z6.1

z:=Integers(10) ;
z10:=AdditiveGroup(z);
z10;
Generators(z10);
NumberOfGenerators(z10) ;
Centre(z10);
Subgroups(z10);
AutomorphismGroup(z10);

Abelian Group isomorphic to Z/10
Defined on 1 generator
Relations:
    10*z10.1 = 0
{
    z10.1
}
1
Abelian Group isomorphic to Z/10
Defined on 1 generator
Relations:
    10*z10.1 = 0
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 10           Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/10
        Defined on 1 generator
        Relations:
            10*z10.1 = 0
[2]     Order 5            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/5
        Defined on 1 generator in supergroup z10:
            $.1 = 2*z10.1
        Relations:
            5*$.1 = 0
[3]     Order 2            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/2
        Defined on 1 generator in supergroup z10:
            $.1 = 5*z10.1
        Relations:
            2*$.1 = 0
[4]     Order 1            Length 1
        Abelian Group of order 1
A group of automorphisms of Abelian Group isomorphic to Z/10
Defined on 1 generator
Relations:
    10*z10.1 = 0
Generators:
    Automorphism of Abelian Group isomorphic to Z/10
    Defined on 1 generator
    Relations:
        10*z10.1 = 0 which maps:
        5*z10.1 |--> 5*z10.1

本来今天我是打算再写点的，还是先回答了问题再说吧

求Z4------->Z6的同态：因为是循环群之间的同态，所以就好求多了，只要注意生成元和各个元素的阶就可以了

Z4中的生成元是1、3，Z6中的是1、5（Zn的元素a为生成元当且仅当(a,n)=1）
Z4中各个元素的阶：ord(0)=1、ord(1)=4、ord(2)=2、ord(3)=4
Z6中各个元素的阶：ord(0)=1、ord(1)=6、ord(2)=3、ord(3)=2、ord(4)=3、ord(5)=6
（Zn中元素a的阶为 n/(n,a)）

设f是Z4------->Z6的同态，a是Z4中的元素，阶为r，则：
r(f(a))=f(ra)=f(0)=0
所以ord(f(a))|r，也就是说映射后的阶要整除r。剩下的就好办了

Z4中生成元1的阶是4，而Z6中只有ord(0)=1和ord(3)=2可以整除4，所以同态只有两个：
f(1)=0，这是把生成元直接变成了单位元，也就是平凡同态，所有的元素都变为0
另一个同态：f(1)=3，通过简单计算，f(2)=0、f(3)=3、f(0)=0

Z6------->Z4的同态我具体就不写了，也有两个，一个是平凡同态，另一个是：
f(1)=2、f(2)=0、f(3)=2、f(4)=0、f(5)=2、f(0)=0

谢！

越看越难了！

是两

书上就一行,HOM(Z4,Z6)={φ：x---->ax,a=0,3},x上带一横------剩余类，看了这N久，没搞懂

用下面这样行不行：我是猜的，不知对不对

Z4------Z6
Lcm(4,6)/4=3;从3开始乘1,2,3。。。但最大不超6，所以就一个3*1

所以a=0,a=3     a=0是Z4

Z6------Z4
Lcm(4,6)/6=2;从2开始乘1,2,3。。。但最大不超4，所以就一个2*1

所以a=0,a=2     a=0是Z6

再找个大的

Z1050------------Z1500

Lcm(1050,1500)/1050=10,从10开始乘1,2,3。。。但最大不超1500，所以就10,2*10,3*10......149*10,

所以a=0,a=10.20,30....1480,1490    a=0是Z1050             共150个同态

Z1500------------Z1050

Lcm(1050,1500)/1500=7，从7开始乘1,2,3。。。但最大不超1050，所以就7,2*7，,3*7.。。。。。149*7，

所以a=0,a=7，14，21，。。。。。1043    a=0是Z1500             共150个同态

G := AbelianGroup([1,2]);
G;
H:=AbelianGroup([1,2,3]);
H;

T1 := Hom(G, H);
T1;
T2:= Hom(H, H);
T2;
T3:= Hom(H, G);
T3;

Abelian Group isomorphic to Z/2
Defined on 2 generators
Relations:
    G.1 = 0
    2*G.2 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 3 generators
Relations:
    H.1 = 0
    2*H.2 = 0
    3*H.3 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/2
Defined on 1 generator
Relations:
    2*T1.1 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/6
Defined on 1 generator
Relations:
    6*T2.1 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/2
Defined on 1 generator
Relations:
    2*T3.1 = 0

Z4:=AbelianGroup(GrpPerm,[4]);
Z4;
Z6:=AbelianGroup(GrpPerm,[6]);
Z6;
Z4Z4 := hom< Z4 -> Z4 | Z4.1 -> Z4.1 >;
Z4Z4;
Z4Z6 := hom< Z4 -> Z6 | Z4.1 -> Z6.1 >;
Z4Z6;
Z6Z4 := hom< Z6 -> Z4 | Z6.1 -> Z4.1 >;
Z6Z4;

Z6Z6 := hom< Z6 -> Z6 | Z6.1 -> Z6.1 >;
Z6Z6;

Z4Z4(Z4) eq Z4;
Z6Z4(Z6) eq Z4;

Z6Z4(Z6) eq Z4;

Image(Z6Z6);
Kernel(Z4Z4);

Domain(Z4Z4);
Domain(Z6Z6);
Domain(Z6Z4);
Domain(Z4Z6);
Codomain(Z4Z4);
Codomain(Z6Z6);
Codomain(Z4Z6);
Codomain(Z6Z4);
DirectProduct(Z4, Z6) ;

Order(1);
Order(6);
sub<Z4 | 1> ;
sub<Z6 | 1> ;
Index(Z4, Z6);

Permutation group Z4 acting on a set of cardinality 4
Order = 4 = 2^2
    (1, 2, 3, 4)
Permutation group Z6 acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Endomorphism of GrpPerm: Z4, Degree 4, Order 2^2 induced by
    (1, 2, 3, 4) |--> (1, 2, 3, 4)
Homomorphism of GrpPerm: Z4, Degree 4, Order 2^2 into GrpPerm: Z6, Degree 6,
Order 2 * 3 induced by
    (1, 2, 3, 4) |--> (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Homomorphism of GrpPerm: Z6, Degree 6, Order 2 * 3 into GrpPerm: Z4, Degree 4,
Order 2^2 induced by
    (1, 2, 3, 4, 5, 6) |--> (1, 2, 3, 4)
Endomorphism of GrpPerm: Z6, Degree 6, Order 2 * 3 induced by
    (1, 2, 3, 4, 5, 6) |--> (1, 2, 3, 4, 5, 6)
true
true
true
Permutation group acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Permutation group acting on a set of cardinality 4
Order = 1
Permutation group Z4 acting on a set of cardinality 4
Order = 4 = 2^2
    (1, 2, 3, 4)
Permutation group Z6 acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Permutation group Z6 acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Permutation group Z4 acting on a set of cardinality 4
Order = 4 = 2^2
    (1, 2, 3, 4)
Permutation group Z4 acting on a set of cardinality 4
Order = 4 = 2^2
    (1, 2, 3, 4)
Permutation group Z6 acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Permutation group Z6 acting on a set of cardinality 6
Order = 6 = 2 * 3
    (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Permutation group Z4 acting on a set of cardinality 4
Order = 4 = 2^2
    (1, 2, 3, 4)
Permutation group acting on a set of cardinality 10
Order = 24 = 2^3 * 3
    (1, 2, 3, 4)
    (5, 6, 7, 8, 9, 10)
Integer Ring
Integer Ring
Permutation group acting on a set of cardinality 4
    Id($)
Mapping from: GrpPerm: $, Degree 4 to GrpPerm: Z4

你算的是对的，另外两个或两个以上生成元的Able群那就是有限生成Able群，可以同构于几个模n剩余类群的内直机。

欠抽代数，讲的真TMD玄幻。最近几天也在学。。。。
明明就是数论的理论，一定要用复杂但具有总结性的语言表达出来。。。。。越到最后总结性越高，各个数学分支的它都想抽一点。。。。。。连几何也要抽一点。。。
密码学其实就 初等数论+解析函数论(复变函数论)。。。。搞什么代数数论基本多余。。。。。然后有那个SB多余的搞出一个 组合数论+组合群论，MD，都是TM的**。国内连书都还没出。。。。。

谢，我是看韩士安的近世代数里的习题总结的，可没底，因为符合的就几道习题，所以不确定

下面你再断断：
同态其实不应叫同态映射，看英文书定义，一个叫HOM,一个叫MAP，同态根本不提MAP，可韩士安的近世代数把同态叫同态映射，从代数结构同态看就矛盾，何况群同态

可映射定义A--B就应只有是满或单，满特殊时包同构，单特殊时包同构

free:=FreeAbelianGroup(1);
free;
free3:=FreeAbelianGroup(3);
free3;
free11:=FreeAbelianGroup(11);
free;
free33:=FreeAbelianGroup(33);
free33;

Generators(free) ;
Generators(free3) ;
Generators(free11) ;
Generators(free33) ;
NumberOfGenerators(free) ;
NumberOfGenerators(free3) ;
NumberOfGenerators(free11) ;
NumberOfGenerators(free33) ;

===========

好好翻了翻书，总算把RANK搞懂了！

http://web.math.hr/~duje/tors/rankhist.html

rank >=         year                 Author(s)
________________________________________________________________________________

      3             1938            Billing

      4             1945            Wiman

      6             1974            Penney - Pomerance

      7             1975            Penney - Pomerance  

      8             1977            Grunewald - Zimmert

      9             1977            Brumer - Kramer        

     12             1982            Mestre

     14             1986            Mestre  

     15             1992            Mestre  

     17             1992            Nagao   

     19             1992            Fermigier

     20             1993            Nagao

     21             1994            Nagao - Kouya

     22             1997            Fermigier

     23             1998            Martin - McMillen

     24             2000            Martin - McMillen

     28             2006            Elkies

y2 + xy + y = x3 - x2 - 20067762415575526585033208209338542750930230312178956502x  
              + 34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429

        Independent points of infinite order:

P1 = [-2124150091254381073292137463, 259854492051899599030515511070780628911531]
P2 = [2334509866034701756884754537, 18872004195494469180868316552803627931531]
P3 = [-1671736054062369063879038663, 251709377261144287808506947241319126049131]
P4 = [2139130260139156666492982137, 36639509171439729202421459692941297527531]
P5 = [1534706764467120723885477337, 85429585346017694289021032862781072799531]
P6 = [-2731079487875677033341575063, 262521815484332191641284072623902143387531]
P7 = [2775726266844571649705458537, 12845755474014060248869487699082640369931]
P8 = [1494385729327188957541833817, 88486605527733405986116494514049233411451]
P9 = [1868438228620887358509065257, 59237403214437708712725140393059358589131]
P10 = [2008945108825743774866542537, 47690677880125552882151750781541424711531]
P11 = [2348360540918025169651632937, 17492930006200557857340332476448804363531]
P12 = [-1472084007090481174470008663, 246643450653503714199947441549759798469131]
P13 = [2924128607708061213363288937, 28350264431488878501488356474767375899531]
P14 = [5374993891066061893293934537, 286188908427263386451175031916479893731531]
P15 = [1709690768233354523334008557, 71898834974686089466159700529215980921631]
P16 = [2450954011353593144072595187, 4445228173532634357049262550610714736531]
P17 = [2969254709273559167464674937, 32766893075366270801333682543160469687531]
P18 = [2711914934941692601332882937, 2068436612778381698650413981506590613531]
P19 = [20078586077996854528778328937, 2779608541137806604656051725624624030091531]
P20 = [2158082450240734774317810697, 34994373401964026809969662241800901254731]
P21 = [2004645458247059022403224937, 48049329780704645522439866999888475467531]
P22 = [2975749450947996264947091337, 33398989826075322320208934410104857869131]
P23 = [-2102490467686285150147347863, 259576391459875789571677393171687203227531]
P24 = [311583179915063034902194537, 168104385229980603540109472915660153473931]
P25 = [2773931008341865231443771817, 12632162834649921002414116273769275813451]
P26 = [2156581188143768409363461387, 35125092964022908897004150516375178087331]
P27 = [3866330499872412508815659137, 121197755655944226293036926715025847322531]
P28 = [2230868289773576023778678737, 28558760030597485663387020600768640028531
http://bbs.pediy.com/showthread.php?t=128083

http://www.iiidown.com/source/9139203

有限自由阿群就是有整数无限群Z的，有一个Z，RANK=1，n个，RANK=n,

有限生成阿群就是有整数群Zm间直和，叫挠子群----都是阶有限的，在ECC里没MOD P前就是画直线只能求有限个新点，

有限生成阿群也有可能加几个无限群Z的，就叫有限生成自由阿群，象ECC里的曲线现在发现最高加了28个无限群Z，在ECC里就是画直线能求无限个新点,这28个点（生成元）如上

不过ECC曲线MOD P后就没无限群Z这直和项了

有限生成阿群麻烦在初等因子---就是Zm各项的m求法

也可表为不变因子之直和

初等因子就是素数次幂（》=1）分解之和----------不变因子转换麻烦点等看懂了贴这

A1:= AbelianGroup([2,3,4,0]);
A1;
Subgroups(A1);

A1:= AbelianGroup([6,3]);
A1;
Subgroups(A1);

FA := FreeAbelianGroup(2);
FA;
Generators(A1);
Generators(FA);
NumberOfGenerators(A1);
NumberOfGenerators(FA);
Relations(A1);
Relations(FA);
RelationMatrix(A1);
RelationMatrix(FA);

Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/12 + Z
Defined on 4 generators
Relations:
    2*A1.1 = 0
    3*A1.2 = 0
    4*A1.3 = 0
Runtime error: Argument of Subgroups must be finite
Abelian Group isomorphic to Z/3 + Z/6
Defined on 2 generators
Relations:
    6*A1.1 = 0
    3*A1.2 = 0
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 18           Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3 + Z/6
        Defined on 2 generators in supergroup A1:
            $.1 = A1.2
            $.2 = 5*A1.1 + A1.2
        Relations:
            3*$.1 = 0
            6*$.2 = 0
[ 2]    Order 6            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/6
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 5*A1.1
        Relations:
            6*$.1 = 0
[ 3]    Order 9            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3 + Z/3
        Defined on 2 generators in supergroup A1:
            $.1 = A1.2
            $.2 = 4*A1.1 + 2*A1.2
        Relations:
            3*$.1 = 0
            3*$.2 = 0
[ 4]    Order 3            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 2*A1.1
        Relations:
            3*$.1 = 0
[ 5]    Order 6            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/6
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 3*A1.1 + 2*A1.2
        Relations:
            6*$.1 = 0
[ 6]    Order 6            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/6
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = A1.1 + A1.2
        Relations:
            6*$.1 = 0
[ 7]    Order 6            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/6
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 5*A1.1 + A1.2
        Relations:
            6*$.1 = 0
[ 8]    Order 2            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/2
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 3*A1.1
        Relations:
            2*$.1 = 0
[ 9]    Order 3            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 2*A1.2
        Relations:
            3*$.1 = 0
[10]    Order 3            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 4*A1.1 + 2*A1.2
        Relations:
            3*$.1 = 0
[11]    Order 3            Length 1
        Abelian Group isomorphic to Z/3
        Defined on 1 generator in supergroup A1:
            $.1 = 4*A1.1 + A1.2
        Relations:
            3*$.1 = 0
[12]    Order 1            Length 1
        Abelian Group of order 1
Abelian Group isomorphic to Z + Z
Defined on 2 generators (free)
{
    A1.1,
    A1.2
}
{
    FA.2,
    FA.1
}
2
2
[ 6*FA.1 = 0, 3*FA.2 = 0 ]
[]
[6 0]
[0 3]
Matrix with 0 rows and 2 columns

A1:= AbelianGroup([3,4]);
A1;

A2:= AbelianGroup([3]);
A2;

FA := FreeAbelianGroup(200);
FA;
DirectSum(A1, A2);
DirectSum(A1, FA);
DirectSum(A2, FA);

Abelian Group isomorphic to Z/12
Defined on 2 generators
Relations:
    3*A1.1 = 0
    4*A1.2 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/3
Defined on 1 generator
Relations:
    3*A2.1 = 0
Abelian Group isomorphic to Z (200 copies)
Defined on 200 generators (free)
Abelian Group isomorphic to Z/3 + Z/12
Defined on 2 generators
Relations:
    3*$.1 = 0
    12*$.2 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/12 + Z (200 copies)
Defined on 201 generators
Relations:
    12*$.1 = 0
Abelian Group isomorphic to Z/3 + Z (200 copies)
Defined on 201 generators
Relations:
    3*$.1 = 0

真是的，我学时有种被强迫接受的感觉，可不学，其它书看不懂啊，看看ECC，说小子群攻击，说弗罗自同构，扩域下降。。。再想翻翻张量分析-----懂点才明白《时间简史》---这可时尚啊

RANK=3

E3:= EllipticCurve([0,0,0,-82,0]);
E3;
PointsAtInfinity(E3);
TorsionSubgroup(E3);
NumberOfGenerators(E3);
Generators(E3) ;
Rank(E3);
MordellWeilShaInformation(E3);
AbelianGroup(E3);

P1:=E3![-8,-12];
Order(P1);
P2:=E3![-1,-9];
Order(P2);
P3:=E3![-9,-3];
Order(P3);
P4:=E3![0,0];
Order(P4);
P5:=E3![49/4,231/8];
Order(P5);
P6:=E3![41/4,123/8];
Order(P6);

Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 82*x over Rational Field
{@ (0 : 1 : 0) @}
Abelian Group isomorphic to Z/2
Defined on 1 generator
Relations:
    2*$.1 = 0
4
[ (0 : 0 : 1), (-8 : 12 : 1), (-1 : -9 : 1), (-9 : -3 : 1) ]
3

Torsion Subgroup = Z/2
Analytic rank = 3
The 2-Selmer group has rank 4
Found a point of infinite order.
Found 2 independent points.
Found 3 independent points.
After 2-descent:
    3 <= Rank(E) <= 3
    Sha(E)[2] is trivial
(Searched up to height 100 on the 2-coverings.)

[ 3, 3 ]
[ (0 : 0 : 1), (49/4 : 231/8 : 1), (41/4 : 123/8 : 1), (-9 : 3 : 1) ]
[
    <2, [ 0, 0 ]>
]
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z + Z + ZDefined on 4 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
0         0就是无限远点，3个Z群，生成元P1/P2/P3
0
0
2          2阶点两个挠子群,生成元P4

0        还给了两能生成 Z群的点-----分数也行，只要是有理点
0
-----------

100000*P4;挠子群Z转不出去
100001*P4;

(0 : 1 : 0)
(0 : 0 : 1)

                 Z群就不同了，10倍就天文数字了，可至无穷啊

(5329/144 : 377191/1728 : 1)
(-118764872/42003361 : -3937849795044/272223782641 : 1)
(905925300579649/81949277077056 : 15640109412983368378849/741852714479323912704
: 1)
(-2343465084196597805000/58051145063946951161569 :
-25447354793050005176981463556943100/13986729827640029730757694665036753 : 1)
(6302474098508073788197910531446609/651331880237428048545105511066896 :
-176342732523930673371934739457017411658357216614489/16622774127029891762931364\
252673114873466120250944 : 1)
(-3813430085070199683943976557798873904463613832/228336826875138911896596598141\
8615777603848641 : 125494893852863155426100974766561536605189928217522571232033\
4800833324/10910984586392115360355313355505782235146810851274627664315031114256\
1 : 1)
(1880701588819492767318652030277859714069703191156088494052609/8018344141367449\
6508774280969881993157804843783416953223424 :
-237919946592218328913913464119432611871936626120863837945348807020008535118330\
0600626847871/22705289196485300714253305436925878920371641314520424153731523057\
840376182235816117587968 : 1)
(-18815230184579826991959942950507242936389088171715617440267931518219770954888\
/2785944412729486384827083679528629259002420636194629323893461343681407696961 :
2305204200717457550192851363078188878716253530093747095851230611288478913625408\
572457649696650868753188600387657492/147047847011317425399566847867848018869257\
649673254707518241304784767107976145675764728694749353143581342134675041 : 1)
(190909762816982266589447623951781585733423203877205763763861577911709314049308\
99671515742264401/3759205612578986117009614770431984774241158894350139721932557\
4936713501758087453032010090000 : -26373827153651235352076330133554362293020016\
8338935545161185268632853079379474560027219993229788750399658301115811130372933\
8142837271804656601/23048577162798624548776580990172190660088839559951272602553\
3782892120933828081749097515442095457075887927302595340997837489878439223000000
: 1)

1000*P1;过5万位了

The output is too long and has been truncated.

RANK=4

E3:= EllipticCurve([0,-1,0,- 24649,1355209]);
E3;
TorsionSubgroup(E3);
NumberOfGenerators(E3);
Generators(E3) ;
NumberOfGenerators(E3);
Rank(E3);

AbelianGroup(E3);

Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x^2 - 24649*x + 1355209 over Rational
Field
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2
Defined on 2 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
    2*$.2 = 0
6
[ (67 : 0 : 1), (113 : 0 : 1), (149 : -984 : 1), (-15 : 1312 : 1), (313 : 4920 :
1), (-56 : -1599 : 1) ]
6
4
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z + Z + Z + ZDefined on 6 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
    2*$.2 = 0

E3:= EllipticCurve([0,-1,0,- 24649,1355209]);
E3;
Generators(E3) ;
NumberOfGenerators(E3);
Rank(E3);
AbelianGroup(E3);
Order(E3);
P1:=E3![67,0];
Order(P1);
P2:=E3![113,0];
Order(P2);
P3:=E3![149,-984];
Order(P3);
P4:=E3![-15,1312];
Order(P4);
P5:=E3![313,4920];
Order(P5);
P6:=E3![-56,-1599];
Order(P6);

Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x^2 - 24649*x + 1355209 over Rational
Field
[ (67 : 0 : 1), (113 : 0 : 1), (149 : -984 : 1), (-15 : 1312 : 1), (313 : 4920 :
1), (-56 : -1599 : 1) ]
6
4
Abelian Group isomorphic to Z/2 + Z/2 + Z + Z + Z + Z
Defined on 6 generators
Relations:
    2*$.1 = 0
    2*$.2 = 0

>> Order(E3);
        ^
Runtime error in 'Order': Algorithm does not work for this ring

2------2阶点两个挠子群,生成元P1/P2
2
0
0
0
0-----------0就是无限远点，四个Z群，生成元P3/P4/P5/P6

抱歉插一句话：其实论坛是可以显示公式的，借助Google的Chart服务即可
[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin%20k}{k}=\frac{\pi-1}{2}\][/IMG]

代码（去掉标签二字）
[img标签]  http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin%20k}{k}=\frac{\pi-1}{2}\] [/img标签]

格式
固定URL部分： http://chart.apis.google.com/chart?
图表类型：cht=类型，对于公式是tx（cht=tx)
后面是一串用&分割的参数，比如公式是
chl=\[\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin%20k}{k}=\frac{\pi-1}{2}\]
公式是latex语法。一些特殊符号比如空格，%等，要用URL的编码规则写