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有限生成Able群的秩 先给出秩的定义: 设H是有限生成Able群,令H*是所有H到R的同态所组成的集合。(R看做加法群)可以证明H*是一个线性空间。这个线性空间的维数叫做H的秩,记作rankH。 例子:整数加群Z的秩 Z=<1>是有限生成的Able群。任意取Z*中一个同态[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}:Z%20\rightarrow%20R\][/IMG],这个同态被其在生成元1上的值唯一确定[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}(a)=ax\][/IMG],其中x是任意一个实数。 可以发现这个线性空间的基是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{1}\][/IMG]。因为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{x}=x\varphi_{1}\][/IMG](其实[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{1}\][/IMG]是我为了方便而取的,任何一个非平凡的同态都可以) 所以Z的秩是1 大家看到了,一个最简单的有限生成Able群秩计算起来都很费力。下面就给出一个关于计算秩的简单方法: 设H是有限生成Able群,K是其子群,则 rankH=rankK+rank(H/K) 毕竟子群比原来的群要小,计算起来容易些。子群还可以继续往下再分,最终划分成几个小点的。 |
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自由群与有限生成交换群(续) 这些天忙来忙去,一直没时间,就只是回答了几个问题,返回来一看“自由群与有限生成交换群”只是开了个头。今天我还是继续写点吧。 先说如何判断一个Able群是有限生成的 Able群H是有限生成的[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\Longleftrightarrow\][/IMG]H是一个有限基自由Able群的商群 [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\Longleftarrow\][/IMG]设[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:F%20\rightarrow%20H\][/IMG]是满同态,其中F是有限基的自由群。设F的基为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{%20f_{1},f_{2},%20\cdots%20,f_{r}%20\}\][/IMG],则显然[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{%20\varphi%20(f_{1}),%20\varphi(f_{2}),%20\cdots%20,\varphi(f_{r})%20\}\][/IMG]是H的生成元组。 [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\Longrightarrow\][/IMG]取H的生成元组[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{%20f_{1},f_{2},%20\cdots%20,f_{r}%20\}\][/IMG],取有限基自由Able群[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[F=Z\oplus%20Z\oplus%20\cdots%20Z\][/IMG],定义映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:F%20\rightarrow%20H\][/IMG]为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi(n_{1},n_{2},\cdots,n_{r})=\sum_{i=1}^{r}n_{i}f_{i}\][/IMG] 由于[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[f_{i}\][/IMG]是基,所以这是一个满同态,从而H就是它的商群 挠子群:有限生成Able群H的所有有限阶元构成的子群称为其挠子群。记作[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[T_{H}\][/IMG] 下面我先给出一个需要用到的高等代数上的一个小定理:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20r_{1},r_{2},%20\cdots%20,r_{n}\][/IMG]都是整数,最大公约数是1,那么存在一个n*n矩阵A,使得,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)\][/IMG] 下面我给出一个重要结论: 没有有限阶非0元的有限生成Able群是自由的。 证明:设H是有限生成Able群,没有有限阶非0元。既然是有限生成的,那么最少存在一个生成元组是有限个元素。取一个生成元组,使得它的元素是最少的。不妨设是:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20\{%20a_{1},a_{2},%20\cdots%20,a_{n}\}\][/IMG] 下面说明它自由生成H,否则,存在不全为0的整数[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20r_{1},r_{2},%20\cdots%20,r_{n}\][/IMG]使得,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20r_{1}a_{1}\][/IMG]+[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20r_{2}a_{2}\][/IMG]+[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\cdots\][/IMG]+[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20r_{n}a_{n}\][/IMG]=0,由于H没有有限阶的非0元,可以要求各个r的最大公约数是1。(如果不是1,可以约去变成1)从而就有一个矩阵A使得[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)\][/IMG]成立 取[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})A^{-1}\][/IMG],则[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{b_{i}\}\][/IMG]也是H的生成元。并且[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[b_{1}=(b_{1},b_{2},\cdots\,b_{n})\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=(b_{1},b_{2},\cdots\,b_{n})A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)\][/IMG], 代人得[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[b_{1}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\sum_{i=1}^n%20r_{i}a_{i}\][/IMG] 于是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}\}\][/IMG]也是H的生成元组。而这个生成元组只有n-1个元素,与生成元组最少需要n个矛盾。所以[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}\][/IMG]自由生成H。 |
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先问两基础点的: 那个运算是商群中的运算,另外商群G/N与G的运算最好用一种符合表示,要么都是+,要么都是*,不要G用一种,G/N又是一种。这样太乱,容易分不清。 关于环中元素的阶,与群是类似的,应为环本身就是Able群再附加上乘法运算。比如环中元素的阶也必须整除环的阶,环也有与群的正规子群类似的概念,叫理想。但是环与群又不太一样,比如环中两个非零元向乘结果可能是零,叫零因子。 |
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非单非满的同态我的理解是这样的: 你对同态的定义还是没弄明白,φ(a+b)=φ(a)*φ(b)是对任意的a、b都必须成立,不是你说的a与b不能相同,它们是可以相同的,而且相同时也必须要成立才是同态。 单同态或满同态,是在首先确定是同态的基础上,再来判断映射的单或满。映射的单或满与群的结构毫无关系,判断单或满根本不用考虑群的运算。 你上边不应该把保持运算和单或满一起考虑,它们是独立的 你说的教科书上在同态前边加上非单非满四个字,这只是一个强调。一般说同态默认它是既不是单同态也不是满同态,所以你看到的外文书上没有这个词。它只是默认了。 |
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教科书上总是直接讲同态第一定理Kernel,商群和同态像,可两群的元在φ(a+b)=φ(a)*φ(b),是怎麽样的没说,FRALEIGH书都没说,求Kernel,求商群(也就是求子群并且是正规的)其实很难,教科书都举些B平凡子群或A,B运算一样的例子,但要B非平凡子群,两边运算不同的自然同态那就难了 群的运算是加法还是乘法只是一个记号,你还是没有明白同构的本质。群的运算取什么符号是任意的,你也可以自己规定一个符号。比如实数的加法群,你完全可以把加号换为乘号。运算还是原来的运算,像5*5=10,与符号是没关系的。 |
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看来我需要说说什么是映射、什么是单射、什么是满射 映射:映射是数学中一个最基本的概念,许多人一直在用,单一直不知道准确的定义。我记得很多人在证明商群的同态时,一直不明白如何证明给出的映射确实是一个映射。废话不说,现在给出映射的定义。 集合A与B之间的映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:%20A\rightharpoondown%20B%20\][/IMG]是一个集合,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20=%20\{(a,b)|\forall%20a%20\in%20A%20\}\][/IMG]。其中[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[(a,b)\][/IMG]叫做关系,也是一个集合,定义是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20(a,b)=%20\{a,%20\{a,b%20\}%20\}\][/IMG]。 从定义可以看出,A中的每个元素a必须有唯一一个B中元素b与之相对应,但是B中元素b可以没有A中元素a与之对应。 单射的定义: 映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:%20A\rightharpoondown%20B%20\][/IMG]称为单射,若[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20a_{1},a_{2}%20\in%20A\][/IMG],有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a_{1}\neq%20a_{2}%20\Rightarrow%20\varphi%20(a_{1})%20\neq%20\varphi%20(a_{2})\][/IMG]成立。 从定义可以看出:单射不能是B中的元素b不能同时有两个A中不同元素与其对应。 满射的定义: 映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:%20A\rightharpoondown%20B%20\][/IMG]称为满射,若[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20b%20\in%20B%20,%20\exists%20a%20\in%20A\][/IMG],使得[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(a)=b\][/IMG] 从定义可以看出:满射必须是B中每一个元素在A中都要有一个元素与其对应。 现在我再说说Z6到Z4的那个非平凡的同态: 我先把这个同态写出来,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:%20Z_{6}\rightharpoondown%20Z_{4}%20\][/IMG] [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{0})%20=\overline{0}\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{1})%20=\overline{2}\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{2})%20=\overline{0}\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{3})%20=\overline{2}\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{4})%20=\overline{0}\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\overline{5})%20=\overline{2}\][/IMG] 首先验证却为映射:Z6中所有的元素在Z4中都有唯一一个元素对应 其次验证不是单射:Z6中的元素1和3都与Z4中的2对应 再验证不是满射:Z4中元素1没有Z6中元素与其对应 同态保持运算的条件是一个相当苛刻的条件,两个群的映射有很多,但是同态却很少很少。再满足单射或满射条件就到了几乎不可能的地步。有一个定理说:你随便取一个同态,是单同态的概率是0,是满同态的概率也是0。(不要以为概率为0就不会发生) |
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平凡同态就两个,太特殊了,都肯定非单非满吗? 平凡同态只有一个,就是把所有的元素都映射成单位元的那个。平凡同态是非单非满的,你如果嫌平凡同态太特殊,还记得那个例子吗:Z6到Z4的同态,两个同态中那个非平凡的同态就是非单非满的,并且也不是你说的无限群之间的同态。 另外,同态应该是群论里最基础也是最最简单的了,我觉得你现在还是先打好基础要紧。 z4 [0] [1 ] [2] [3 ] z6 [0] [1] [2] [3] [4] [5] 同态不是想当然的,Z4到Z6的同态只有两个。我前边给出过详细的计算过程,你可以好好看看 |
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把z4------z6,z6-------z4同态用手工算了,都是自同态或单同态,满同态 其实你没必要这样麻烦的列出来一个一个的试,任何两个群之间的平凡同态都是非单非满的同态。 |
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自由交换群、有限生成交换群 首先给出自由交换群的定义:交换群F称为自由交换群,如果有子集[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[A%20\subset%20F\][/IMG],使得[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20x\in%20F\][/IMG]可唯一的表示成A中有限个元素的整系数线性组合:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[x=\sum_{i=1}^k%20n_{i}a_{i}\][/IMG]其中[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a_{i}%20\in%20A\][/IMG]、[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[n_{i}%20\in%20Z\][/IMG] A称为自由交换群F的一个基,由于F中的任意一个元都可由基的线性组合唯一确定,单位元当然也可以,从而可以获得自由Able群F的基A的一个重要性质是:若有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sum_{i=1}^r%20n_i%20a_i%20=0\][/IMG],则[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20n_i%20=0\][/IMG],其中[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[n_{i}%20\in%20Z%20a_i%20\in%20A\][/IMG] 大家看到自由交换群的定义是不是很像环R上的模或者是域F上的向量空间,尤其是向量空间,我要说的是它们之间是不同的: 自由Able群的一个线性无关子集不一定能扩充成基 自由Able群的生成元集合不一定包含一组基,但是如果是由n个元素生成的有限生成Able群,则秩不会超过n。(秩的定义我以后再给出) 如果自由交换群F存在一个基A只有有限个元素,那么F就称为有限基自由Able群。 自由Able群可以线性扩张:设A是自由Able群F的基,H是Able群,则从A到H的任意一个映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta%20:A%20\rightarrow%20H\][/IMG],可以唯一决定同态[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20:%20F%20\rightarrow%20H%20\][/IMG],[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi%20(\sum_{i=1}^k%20n_i%20a_i)=\sum_{i=1}^k%20n_i%20\theta(a_i)\][/IMG] 现在给出有限生成Able群的定义: 如果交换群H有一个子集[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[A=\{a_1,a_2%20\cdots%20,a_r\}\][/IMG],使得H的每个元素x可以表示成[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[x=\sum_{i=1}^r%20n_i%20a_i\][/IMG]的形式,则称H是有限生成Able群,A是生成元 例子:循环群是由一个元素生成的Able群,从而是有限生成Able群 |
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本不打算讲有限生成Able群、自由群、挠子群这些,看到大家很想学,我也就给大家讲讲吧。我是想到哪里就说到哪里,如果有什么不对的就给我指出来。另外我也试一下google chart [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a^2\][/IMG] |
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陪集、商群、正规子群、单群 陪集是一个重要的概念,有左陪集和右陪集。设H是群G的子群,a为G中的一个元素。aH={ah|h为H的元}称为H在G中的左陪集。Ha={ha|h为H的元}称为H在G中的右陪集。 左陪集可以将群划分成若干互不相交的集合,并且各个左陪集的元素相等。这就是拉格朗日定理:G是有限群,H是其子群,则|G|=|H|[G:H]。G:H叫做H在G中的指数。 例子: 这个定理的一个明显的推论是:若G为n阶,a为G的元素,则a^n=e 把这个推论应用到模p单位群Z*p,可以得到费马小定理: p是素数,a与p互素,则a^(p-1)=1(modp)。(本应是三横的同余符号,打不出来) 模p单位群Z*p是p-1阶的,a与p互素,所以a的模是Z*p的元素,所以a^(p-1)是单位元1。轻松获得了费马小定理,数论中要费多大精啊。 所有的左陪集与右陪集都相等的子集叫正规子群。 例子: Able群G中任意一个子群H是正规的,由于G是可交换的 商群:H是G的正规子群,则H的所有陪集组成的集合G/H关于陪集的乘法是一个群,称为商群。 几个小结论: G为群,H是G的正规子群,则 (1)商群G/H的单位元是eH (2)aH的逆元是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a^{-1}%20H\][/IMG] (3)G/H的阶整除G的阶 单群:若一个群只有平凡正规子群,那么就叫它单群。单群是很重要的一种群,因为其他的群是由单群构成的。把单群全部弄清楚了,其他的群就好办了。这就是“若当----赫尔德过程”。其中单群已经全部分类完成,第二步也有了一些成果,像若当----赫尔德定理等。 |
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你算的是对的,另外两个或两个以上生成元的Able群那就是有限生成Able群,可以同构于几个模n剩余类群的内直机。 |
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本来今天我是打算再写点的,还是先回答了问题再说吧 求Z4------->Z6的同态:因为是循环群之间的同态,所以就好求多了,只要注意生成元和各个元素的阶就可以了 Z4中的生成元是1、3,Z6中的是1、5(Zn的元素a为生成元当且仅当(a,n)=1) Z4中各个元素的阶:ord(0)=1、ord(1)=4、ord(2)=2、ord(3)=4 Z6中各个元素的阶:ord(0)=1、ord(1)=6、ord(2)=3、ord(3)=2、ord(4)=3、ord(5)=6 (Zn中元素a的阶为 n/(n,a)) 设f是Z4------->Z6的同态,a是Z4中的元素,阶为r,则: r(f(a))=f(ra)=f(0)=0 所以ord(f(a))|r,也就是说映射后的阶要整除r。剩下的就好办了 Z4中生成元1的阶是4,而Z6中只有ord(0)=1和ord(3)=2可以整除4,所以同态只有两个: f(1)=0,这是把生成元直接变成了单位元,也就是平凡同态,所有的元素都变为0 另一个同态:f(1)=3,通过简单计算,f(2)=0、f(3)=3、f(0)=0 Z6------->Z4的同态我具体就不写了,也有两个,一个是平凡同态,另一个是: f(1)=2、f(2)=0、f(3)=2、f(4)=0、f(5)=2、f(0)=0 |
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有限生成Able群,我不打算说了,因为表示论需要很多基础,我说了你们也看不太清楚 |
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最近我很忙,一直没时间写,搞得大家都嫌我每次都写得太少,实在不好意思,现在回答问题: 既不是单射又不是满射的同态是存在的,并且大部分同态都是这样 关于有限生成Able群有一个结构定理:有限生成Able群同构于一些循环群的直和,并且这些循环群中如果有些是有限阶的,那么总可以使得它们的阶m1、m2、m3...,有m1|m2|m3|.....成立。 你问的那个问题不应叫同构群的子群,我说了是一些Able群的直和。当然可以有无限阶的。有限生成Able群的意思是由有限个生成,并不是说群必须是有限阶 不想交的轮换等我写置换群的时候我再细细说吧 |
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同态、同构 论坛的贴子不能写数学公式,说又说不明白,这让我很是为难 先给出定义:称两个群同态,若存在一个映射(称为同态映射)可以保持群的运算。f(ab)=f(a)f(b) 若同态映射是一个双射,称为同构。 举个例子:R是全体实数的加法群,R+是全体正实数的乘法群。定义R到R+的映射f,f(a)=2^a 由于f(a+b)=2^(a+b)=2^a 2^b,所以f保持运算,是一个同态映射。 进一步,f还是双射。从而f是同构。 同构将单位元变为单位元,将逆元变为逆元。 同态的核:群G与H同态,f为其同态映射,e是H的单位元。集合K={g|f(g)=e}为f的核。 说白了,核就是能够被映射f变成单位元的元素。 举个例子: 刚才给出的R到R+的同构映射f的核:R+是全体正实数的乘法群,单位元是1。只有2的0次方才是1,所以f的核只有一个元素:单位元0 这个例子中同构映射f的核是单位元并不是偶然的,只要是同构,核都是单位元。 另外核是单位元可以推出同态是单射。如果已经证明了是满射,那么就可以得出映射是同构。 |
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一个群的例子:循环群 一个群若只有一个生成元就叫循环群。昨天有人问模n剩余类群的元素的阶的问题,现在我就详细的说说。 首先给出模n剩余类群的定义:n是一个正整数,对于任意一个正整数,被n除后余数会有几种可能,0、1....n-1。所有的这些剩余类所构成的集合叫模n剩余类群。其中的乘法运算定义为:相加后再和n求模。 举个例子:Z5,模5剩余类群。4与3相乘结果为2 由于循环群是Able群,其中的运算一般也就写为加法。 Z5中的生成元:1首先肯定是,2=1+1、3=1+1+1、4=1+1+1+1、0=1+1+1+1+1 2也是4=2+2、1=2+2+2、3=2+2+2、0=2+2+2+2 不难发现Z5的生成元是1、2、3、4 有限阶的循环群和模n剩余类群同构,所以只需分析模n剩余类群就可以获得所有有限阶群得结构,这也是我为什么要举模5剩余类群的例子。 Zn中的全部生成元:r是元的充分必要条件是r与n互素。 说了这么多,也不知道我说明白了没有,现在就回答模n剩余类群元素阶的问题,任意一个元素都可以生成这个群的一个子群。子群的阶是要整除n的,而那个元素的阶和生成的子群的阶是一样的,所以不会有元素阶大于n。 |
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一些基本的结论: 元素的阶整除群的阶 子群的阶整除群的阶 模n剩余类群的生成元为1 模n剩余类群中,若n为素数,则除单位元0外全是生成元,也就是说Zp(p为素数)构成一个域 n阶循环群同构于模n剩余类群Zn,无限阶循环群同构于整数加群。所以循环群本质上只有两个 循环群的元素a^r是生成元当且仅当r与n互素,其中n为群的阶 |
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