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[原创]继续和谐VMP 学习笔记
吾爱破解专用版ollydbg我之前就用过了,根本不行 |
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[原创]群论的一些基础知识
群在集合中的作用(续) 下面我就用群在集合中的作用这个工具来获得几个结论 1、轨道公式:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[|G|=|O_{x}||S_{x}|\][/IMG] 我先说明一下符号:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G/S_{x}\][/IMG]不是商群的符号,只是代表所有的左陪集的集合。(稳定子群不一定是正规的) 给一个映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi:O_{x}\rightarrow%20G/S_{x}\][/IMG] [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi(g_{x})=gS_{x}\][/IMG] 需要注意的是需要验证给出的的确是个映射,因为左陪集代表元不是唯一的,自己验证吧(我前边给出过映射的定义,按照那个验证) 还可以证明这个映射是一个双射,从而如果是有限群的话,那个轨道公式成立 |
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[原创]群论的一些基础知识
哪个才是S4到Aut(D)自同态? 我打字打错了,不是自同态,是同态。不好意思 我把这个同态写一下: [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha:S_{4}\rightarrow%20Aut(N)\][/IMG] [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha(h)=\alpha_{h}\][/IMG] 雅可比和雅可比森是两个人,雅可比森矩阵、雅可比森理想是雅可比森。雅可比森最大的成就是环论,它与Artin、Noether是齐名的 |
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[原创]群论的一些基础知识
我说的直幂就是内直积 |
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圈积是一种群扩张的方法,我给你简单说说 G是一个群,Sn是置换群。设N是G的n次直幂。[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[N=G\times%20G\cdots\times%20G\][/IMG] 取h属于Sn,容易证明映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha(h)\][/IMG]是N的自同构:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha(h)(g_{1},\cdots,g_{n})=(g_{1}h^{-1},\cdots,g_{n}h^{-1})\][/IMG] 还可以证明,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha\][/IMG]是Sn到Aut(N)的一个自同态。(自己验证吧) 所以可以作N和Sn关于[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\alpha\][/IMG]的半直积,这个半直积叫圈积 |
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群在集合中的作用 你们不明白啊,我不是为了名利。考不上博,就意味着不能再学数学了,我的激情就会慢慢的消失。 数学的研究是不能中断的,等我第二年再考,早已经不是现在的状态了。 不发牢骚了,开始吧 群在集合中的作用是群论中一个强有力的工具,利用它,Sylow给出了第一、第二、第三,三大定理 由于它们总是一起使用,就一起叫Sylow定理 首先我说一下什么叫群在集合上的作用 G是群,X是非空集合,G和X之间有一个运算*,使得对任意的g属于G,x属于X有唯一的一个X中元素y与g*x对应。记作y=g*x,并且满足下面两个: (1)e*x=x (2)(g1 g2)*x=g1*(g2*x) 这个运算就叫群在集合上的作用,有时候在不引起误解时省略* 需要注意的是第二条并不是结合律,结合律是在一个集合中说的。 我下面给出几个经典的群作用的例子 1、共轭作用 为了方便,就让群G作用到G本身上,取X=G 定义g*x=[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[gxg^{-1}\][/IMG] 验证一下: [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[ex=exe^{-1}=x\][/IMG] [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[(g_{1}g_{2})x=(g_{1}g_{2})x(g_{1}g_{2})^{-1}=g_{1}(g_{2}xg_{2}^{-1})g_{1}^{-1}=g_{1}(g_{2}x)\][/IMG] 再给一个群G在其子集之集(就是G的全部子集所成的集合)上的共轭作用 g*H=[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[gHg^{-1}\][/IMG] 自己验证吧,我就不算了 2、陪集作用 G有正规子群H,从而有商群G/H G在G/H上的作用g(aH)=gaH 这个作用就是陪集中的运算,显然是作用 下面给几个相当重要的概念: 1轨道 G作用到X上,x属于X,称集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[O_{x}=\{gx|g\in%20G\}\][/IMG]是x在G中的轨道 如果X只有一个轨道,那么就称这个作用是传递作用 轨道就像左陪集一样,两个轨道要么完全相同,要么就没有公共元素 2稳定子群 G作用到X上,x属于X,称集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}=\{g\in%20G|gx=x\}\][/IMG]是x在G中的稳定子群。 对稳定子群确实是G的子群的验证我就不算了,一目了然的 再给个轨道和稳定子群的例子: G共轭作用到G上 x属于G的轨道:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[O_{x}=\{gxg^{-1}|g\in%20G\}\][/IMG] 由于共轭作用太经典了,这个轨道有另外一个名字,叫共轭类 x属于G的稳定子群:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}=\{g\in%20G|gxg^{-1}=x\}=\{g\in%20G|gx=xg\}\][/IMG] x的稳定子群正好就是x的中心化子C(x). |
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我不知道高手们是如何隐藏od的,我用的是strongOD不管用,还是被检测到了,请高手指点 A debugger has been found running in your system.Please,unload it from memory and restart your program |
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谢谢你还安慰我两句,今天上午我是万念俱灰,死的心都有了。 我是多么的热爱数学,然而却被那狗屎英语所害。 还是回答问题吧 首先我还是先给你算算,看为什么(12)A3=(23)A3=(13)A3, A3={(1),(123),(132)} (12)(1)=(12) (12)(123)=(23) (12)(132)=(13) (12)A3={(12),(23),(13)} (13)(1)=(13) (13)(123)=(12) (13)(132)=(23) (13)A3={(13),(12),(23)} (23)(1)=(23) (23)(123)=(13) (23)(132)=(12) (23)A3={(23),(13),(12)} 你也看到了,这三个左陪集是一样的。所以{A3,(12)A3}={A3,(13)A3}={A3,(23)A3}=S3/A3 就对这S3有这疑问。大群S4,S5,S6.的商群就不这样 这个不是形式一样就可以了,是要经过计算的。你说的“大群S4,S5,S6.的商群就不这样”我不明白什么意思, 是让S4、S5这些模去A4、A5这些吗? 那个置换群表是一定可以的,除非你算错了。应为这三个陪集本来就是一样的,一个可以,那么另外两个也必然可以 |
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今天得知我考博被英语挂掉,有如五雷轰顶。狗屁英语,想当年我考研就被它所害,今天又来害我,我这辈子狠透了英语,再也不想看见这东西了。 本来今天我打算写群在集合上的作用以及Sylow定理的,现在没心情了。 |
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复数域是在实数域R上以Z2或者说是{(1),(12)}为基生成的有限可除结合代数,Q是由在R上以四元数群为基生成的有限结合可除代数。所以是Q的子域 |
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再问个商群问题:下面图当S3/A3这商集可成商群S3/A3={A3,(12)A3};如果下图运算成立的同时,那商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群? 你可能不明白S3/A3到底是什么。你上边写的S3/A3={A3,(12)A3} 然后又说商集S3/A3={A3,(13)A3}或商集S3/A3={A3,(23)A3}为何不成商群,我要告诉你的是(12)A3=(13)A3=(23)A3 S3/A3同构于Z2 |
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置换群、对称群、变换群(续2) 轮换、对换 下面这个结论很基础: 每一个置换都可以表示成一些不相交的轮换的乘积。 例子: 1 2 3 4 5 6 7 8 | | | | | | | | 2 5 6 8 1 3 7 4 表示为不相交的轮换乘积为(1 2 5)(3 6)(4 8) 定理:每个置换都可表示为一些对换的乘积 证明:首先可以表示成不相交的轮换的乘积,如果每个轮换都能表示成对换的乘积,那么问题解决了。 设[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sigma=(i_{1}%20i_{2}%20\cdots%20i_{n})\][/IMG]是r-轮换, 那么[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\sigma=(i_{1}%20i_{2})(i_{2}%20i_{3})\cdots%20(i_{n-1}%20i_{n})\][/IMG] 上面的证明过程是构造的过程,然而并不是就这一种办法能表示成对换的乘积。 一个置换可能有好几种表示方法。但是这些方法中所用的对换的个数的奇偶性是不变的。 道理很简单,首先一个置换如果乘上一个对换,那么它的奇偶性会改变。 如果一个置换表示成了两种轮换的乘积。那么由于他们是相等的,其中一个如果乘上单位元(1)后还是相等的 只要注意到单位元(1)=(12)(12)就出来了,应为它乘了两个轮换所以奇偶性不变。 奇置换、偶置换、交错群 可以表示成奇数个对换乘积的置换叫奇置换,偶数个对换乘积的置换叫偶置换 Sn的全部偶置换组成的集合记作An An是一个Sn的子群,应为偶置换与偶置换相乘还是偶置换,单位元(1)是偶置换,偶置换的逆还是偶置换。 这个子群An叫n次交错群。(n不等于4时是单群,是4类有限单群之一,A4有一个正规子群是{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}) An是Sn的一个正规子群。 奇置换所组成的集合不是一个群,应为单位元就不在那里。 下面我介绍一下Sn和An的生成元作为置换群的结束吧 Sn=<(12),(13).....(1n)> An=<(123),(124)......(12n)> |
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置换群、对称群、变换群(续) 前边说了,对称群是非空集合X上的全部可逆变换按映射合成构成的群。如果集合X={1,2,...n}那么这个群就叫置换群 Cayley定理指出任意一个群都同构于一个变换群,由于结构与选取的集合X无关,所以可以认为同构于一个置换群。 置换群中的元素都是映射,写起来不方便,下面给出记号: 为了说的方便,我举一个例子 S5中的一个元素: 1 2 3 4 5 | | | | | 2 5 1 3 4 这个映射把1映射为2,2映射为5.... 用记号(1,2,5,4,3)来表示这个置换。1后边是2,就是1映射为2,2后边是5,就是2映射为5,等等。最后一个元映射为第一个。 自己映射为自己的元素就省略掉 例子:S3的全部元素 (1) (12) (23) (13) (123) (132) 大家看到了S3有6个元素,正好是3! 这不是偶然的,n次对称群Sn就是有n!个元素。原因是这些可逆变换与集合X的排列之间有一个双射。 两个置换的乘积在一个元上的作用按从右到左依次作用,例如前边S3中的(12)和(123)的乘积在1上的作用: ((12)(123))(1)=(12)(2)=1 这里我说两句,其实现代数学是普遍使用的左表示。像前面应该是从左到右才符合习惯,但是由于历史原因,只能这样将就了。 这种例子有很多,像我们平时在熟悉不过的函数f(x),其实按现代数学左表示的习惯,应该写成(x)f。这种写法我估计大家都看不顺眼。 在国内的书中,我只见过一本是这种表示,叫《环与代数》。谁写的我忘了。 这种表示置换的方法叫轮换,长度是r的叫r-轮换,2-轮换叫对换。 |
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不过先问简单的群在集合上的作用,一般都考虑|G|=|X|,可也可以不相等,居然还有群在群作用,这些作用就是群表示吗? 群在集合上的作用我先讲完了置换群再讲吧,不过先告诉你群在集合上的作用不是群表示。 群表示是任给一个群,设法却定它的结构。像Cayley定理,这就是置换表示。前边我还说过自由Able群和有限生成Able群的结构,这是直和表示。还有一些Lie群的矩阵表示(这个应该最有名,甚至有人定义Lie群就是直接用他的矩阵表示) |
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置换群、对称群、变换群 我的忘性真大,写了这么多,才发现置换群还没写呢。真是愧对大家了。现在赶紧补上吧 对称群定义: 对称群是最基本的一类群,设X是一个非空的集合,X中的全体可逆变换(或者叫可逆映射)组成了集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}\][/IMG]。这个集合中的变换按映射的合成运算构成了一个群。叫对称群,单位元是恒等映射,逆元是逆映射。 变换群定义:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{x}\][/IMG]的子群叫变换群。 变换群之所以重要,是应为有一个群表示定理:Cayley 定理 任意一个群同构于一个变换群 证明:设G是一个群,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20g\in%20G\][/IMG]定义左平移映射[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{g}%20:G\rightarrow%20G\][/IMG]为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{g}%20(x)=gx\][/IMG],显然,左平移是可逆映射。 定义集合[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}=\{\varphi_{g}|g\in%20G\}\][/IMG],现在证明[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}\][/IMG]是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[S_{G}\][/IMG]的子群:设e是G的单位元,则恒等变换[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{e}=\iota%20\in%20S_{G}\][/IMG] 由于:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20x\in%20G\][/IMG],有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{a}\varphi_{b}(x)=\varphi_{a}(bx)=abx=\varphi_{ab}(x)\][/IMG],所以[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\varphi_{a}\varphi_{b}=\varphi_{ab}\][/IMG] 进一步,在上边吧b取成a的逆[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a^{-1}\][/IMG] 就有[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[(\varphi_{a})^{-1}%20=\varphi_{a^{-1}%20}\][/IMG]这说明乘法与取逆的运算都是封闭的。从而是子群 下面证明G与[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[G_{l}\][/IMG]同构(google chart居然不支持同构符号,倒霉) 定义映射:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta:G\rightarrow%20G_{l}\][/IMG]为[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(g)=\varphi_{g}\][/IMG],其中g属于G (1)保持运算 其实前边已经给出了:[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(ab)=\varphi_{ab}=\varphi_{a}\varphi_{b}=\theta(a)\theta(b)\][/IMG] (2)满射 [IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall%20\varphi_{a}\in%20G_{l}\][/IMG],有a属于G,从而[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(a)=\varphi_{a}\][/IMG] (3)单射 设[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[a,b\in%20G\][/IMG],如果[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\theta(a)=\theta(b)\][/IMG],也就是[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[%20\varphi_{a}=\varphi_{b}\][/IMG],都作用到单位元e上,就有a=b |
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其实我想问的有限生成交换群的RANK 和线性代数里的RANK的区别,您再给说说, 你可以再看看我下的定义,这两个本质是一样的。有限生成交换群的RANK说白了,就是那个同态向量空间的秩。有限生成交换群的RANK ,应该说是向量空间秩的一个应用吧。 你给公式rankH=rankK+rank(H/K)适用于有限生成交换群秩,极大无关组中向量的个数为非交换线性代数的秩的有没公式? 当然有了,是什么我记不得了。就是子空间和原来的空间的一个秩的关系,线性代数书上应该有的。和这个类似。其实这个公式就是向量空间这个一般的公式在有限生成交换群与R的同态空间End(F,R)的一个应用 |
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其实我想问的有限生成交换群的RANK 和线性代数里的RANK的区别,您再给说说, 你可以再看看我下的定义,这两个本质是一样的。有限生成交换群的RANK说白了,就是那个自同态向量空间的秩。有限生成交换群的RANK ,应该说是向量空间秩的一个应用吧。 |
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1 1 我本人不喜欢体这个概念,它的定义,由于历史原因,不同的人给出的稍有不同(可除结合代数或非交换除环都叫过体),以至于引起误解。我是直接说环或域或代数,不说体。Frobenius定理给出了实数域上所有的有限可除结合代数,分别为R、C、Q。(Q就是你说的四元数体)实数域是复数域的子域,复数域是Q的子域。你说的问题就是由于体的定义引起的。Q是体,但是他也是域,所以说是R的子域 2 不论具体运算是什么,环中Able群的运算用+表示(以示交换性),乘法用*表示。应为他们都是同构的。 3 环中的加群是交换的,中心是自己。你觉得环的中心会是加群的中心吗,显然不是。 定义:C(R)={a[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\in\][/IMG]R|ax=xa,[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\forall\][/IMG]x[IMG]http://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=\[\in\][/IMG]R} 是乘法半群的中心 4 理想确实是子环,类似于群中的正规子群。环的理想一般不能求出,就像任给一个群一般求不出其正规子群一样。 |
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环中元素的阶是不是和环特征联系着? 环中特征的定义: R是环,称n是R的特征,若n是使得na=0的最小正整数,如果没有特征是0。 如果特征不是0,环中所有元中阶最大的就是特征。特征是0,环中就不存在阶最大的 那个迪历克莱符号X念法是什麽? 狄利克雷,我是这样念的。一个外国人名。 |
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距阵群不是A群,rank应该也能用,可下面为何不对啊 一般线性群或者它的一些子群是非交换的,只有有限生成交换群采有秩。非交换的群是没有的。 |
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