指数i称为b的以a为基数的模p的离散对数或者指数。该值被记为inda ,p(b)。
基于此背景知识，可以定义Diffie-Hellman密钥交换算法。该算法描述如下：
1、有两个全局公开的参数，一个素数q和一个整数a，a是q的一个原根。
2、假设用户A和B希望交换一个密钥，用户A选择一个作为私有密钥的随机数XA<q，并计算公开密钥YA=aXA mod q。A对XA的值保密存放而使YA能被B公开获得。类似地，用户B选择一个私有的随机数XB<q，并计算公开密钥YB=aXB mod q。B对XB的值保密存放而使YB能被A公开获得。
3、用户A产生共享秘密密钥的计算方式是K = (YB)XA mod q。同样，用户B产生共享秘密密钥的计算是K = (YA)XB mod q。这两个计算产生相同的结果：
K = (YB)XA mod q
= (aXB mod q)XA mod q
= (aXB)XA mod q （根据取模运算规则得到）
= aXBXA mod q
= (aXA)XB mod q
= (aXA mod q)XB mod q
= (YA)XB mod q
因此相当于双方已经交换了一个相同的秘密密钥。
4、因为XA和XB是保密的，一个敌对方可以利用的参数只有q、a、YA和YB。因而敌对方被迫取离散对数来确定密钥。例如，要获取用户B的秘密密钥，敌对方必须先计算
XB = inda ,q(YB)
然后再使用用户B采用的同样方法计算其秘密密钥K。
Diffie-Hellman密钥交换算法的安全性依赖于这样一个事实：虽然计算以一个素数为模的指数相对容易，但计算离散对数却很困难。对于大的素数，计算出离散对数几乎是不可能的。
下面给出例子。密钥交换基于素数q = 97和97的一个原根a = 5。A和B分别选择私有密钥XA = 36和XB = 58。每人计算其公开密钥
YA = 536 = 50 mod 97
YB = 558 = 44 mod 97
在他们相互获取了公开密钥之后，各自通过计算得到双方共享的秘密密钥如下：
K = (YB)XA mod 97 = 4436 = 75 mod 97
K = (YA)XB mod 97 = 5058 = 75 mod 97
从|50，44|出发，攻击者要计算出75很不容易。
二、简单模拟实现
/*-------------------------------------------------------------------------
* 版权所有：jxccy，引用请注明出处
* 作者：jxccy
* QQ：524733264
* 完成时间： 2008年6月
-------------------------------------------------------------------------*/
class User
{
public:
string name;
int a1;//用户随机选项的数
int a2;//对方发送的数
int k;//会话密钥
User(string name);
};
User::User(std::string na)
{
this->name=na;
}
//大数幂乘算法
int mul(int x,int r,int n)
{
int a=x;
int b=r;
int c=1;
while(b!=0)
{
if(b%2!=0)
{
b=b-1;
c=(c*a)%n;
}
else
{
b=b/2;
a=(a*a)%n;
}
}
return c;
}
//判断数组里面元素都不相等(不相等为真)
bool IsEqualInArray(int *a,int n)
{
int flag=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=i+1;j<n-1;j++)
{
if(a[i]==a[j])
{
return false;
}
}
}
return true;
}
//求本原元
void BenYuan(int prime)
{
int *a=new int[prime];
cout<<prime<<"的本原元为：";
for(int i=1;i<=prime;i++)
{
for(int j=0;j<prime;j++)
{
a[j]=mul(i,j+1,prime);
}
if(IsEqualInArray(a,prime))
{
cout<<i<<"；";
}
}
cout<<endl;
}
