姗姗来迟，且没有电脑，开始写题的时候就已经有了四个解，好在没延误太久。

本题是一个蕴含信息论模型的题目，考察点主要在于理解天平称重寻找次品的称量模型，并将其转化为一个线性表达。

天平称重问题由来已久，主要是进行t次称重，在n个产品中有1个次品，次品或轻或重。注意到天平称重一次具有三个状态，于是共有$3^t$种状态，而次品情况共有2n种，于是我们有$2n\le 3^t$即$n\le \frac{3^t}{2}$取整数可知，最多可以秤取$\frac{3^t-1}{2}$个物品并选出次品。
另一方面，观察常见的相关脑筋急转弯，我们可以发现最常见的模式反而是t=3,n=12的情况，这和我们估计的上界n=13不同，但这符合题设的t=4,n=39。通过对这类题目试做可以发现，n取上界的情况并不是不能选到，但是要通过对某次选择的情况做分类讨论再执行，这跟本题中提供的矩阵逻辑看起来很不相符；而另一方面，通过将n三等分的方式进行分组上称，使得编码方案更加整洁。注意到$\frac{3^t-1}{2}-1=\frac{3^t-3}{2}=\frac{3^{t-1}-1}{2}\times 3$为3的倍数，于是三等分在数学上是可行的，那么我们合理猜想，在模型扩充的过程中，进行三等分一定是必须的一步，所以我们获得第一个矩阵信息：每行012的个数一致，这在4*39的矩阵上也刚好可以成立。

另一方面，考虑在现实中，如果一个球出现问题，那么称量时一定是其所在的组不平衡，且偏转方向相反。这个性质在线性表达时我们可以看到重要性。

接着我们考虑问题，假如一个球有问题，那么必然是其被选中时天平的平衡性被打破，而其轻与重的区别会导致天平倾向的角度完全相反。注意到从模型中抽离出后，某个球有问题即代表某一位被选中，于是某个列向量便被选出作为特征向量，根据过轻或过重得到两个相反的特征向量；而不同的问题球应当对应不同的特征向量，因而不同的列向量不应该是相同或相反；因此注意到共$3^4-3=81=78$个向量，两两分组得到39组向量，每组中二选一，正好对应39个列向量。

注意到这里题目为列向量整体规定了一个递增排序，所以每选定39个向量，都有唯一一个排列方案，这时复杂度为$2^{39}$。

注意到还有前文提供的其他一些约束条件：
1.每行012的个数一致；
2.不同的列向量不应该是相同或相反；

由条件1和递增：第一行应为“0”*13+“1”*13+“2”*13，而对于以第一行分类后三行构成的三个3*13矩阵升序排列。

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