2015.2.1半虚数首先被“喂咩:凌霄花”提出。可参见:
http://www.crm118.com/thread-10655-1-1.html
http://user.qzone.qq.com/791562371/2
半虚数及性质
如果方程 x^2 = x*x = -1,则有 x 的两个根 虚数i和 负虚数-i。
这种虚数为整数虚数。
如果方程 √x = x^(1/2) = -1,现代数学里则方程无解,x无根。
为了解决方程 √x = -1 无解的问题,必须定义新的虚数。
定义半虚数:半虚数的平方根等于负一。
这样方程 √x = -1 的根只有一个,半虚数。因为
√-x = √-1 * √x = i*(-1) = -1*i
所以根只有一个,是半虚数。
同样,可以定义N虚数:N虚数的N次方根等于负一。其实应该是1/N虚数,
由于整数虚数只有一种,所以称之为N虚数简便。
由于负一的奇数次方根为负一,因此只存在为偶数的N虚数。
例如4虚数使得,4虚数4次方根等于负一。而3虚数则不存在。
如果记 i(J) 为虚数,有
i(2) 为虚数i,i^2=-1 i(1/2) 为半虚数 i(1/4) 为4虚数 ......
如此等等。
记i(1/2)的半虚数为j,有
√j = -1
由于 x^0 = 1,因此,毫无例外地
j^0 = 1
同时 j ≠ 1
也就是说
(√j )^2 = (-1)^2 = 1
成立,但是 j ≠ 1。
这个性质,是整数虚数i所不具备的不可分解性。是分数次虚数
所特有的。对于又整数虚数i构成的复数 a+i*b,它的任意次方,仍 是复数。而分数次虚数则不是。
因此,是整数虚数是“发散”的,而分数次虚数是“凝聚”的。
再则
(√j )^(2n) = (-1)^(2n) = 1
(√j )^(2n+1) = (-1)^(2n+1) = -1
(√j )^(1/(2n)) = (-1)^(1/(2n))
(√j )^(1/(2n+1)) = (-1)^(1/(2n+1)) = -1
因此:1/N次虚数的N次方根的偶数次方为1,奇数次方为-1或者是(2n+1)个复数。
√(a+j*b) = - √(a-b)
(a+j*b)^(1/(2n)) = (a+b)^(1/(2n)) * (-1)^(1/n)
j^2即j的平方应为多少?j^(1/3)、j^(1/7)应为多少?显然,这个计算是无法进行的, 只能规定
j^n = 0
j^(1/(2n+1)) = 0
所以 j^2即j的平方为零,j^(1/3)、j^(1/7)为零等等。
根据以上规定,可以发现
Exp(j) = 1+j
Log(1+j) = j
Sin(j) = j
Cos(j) = 1
Sinh(j) = j
Cosh(j) = 1
Tan(j) = j
Tanh(j) = j
(1+j)^(1/3) = 1
(1+j)^(1/(2n)) = 1
(1+j)^(1/(2n+1)) = 1
1/(1+j) = 1-j
1/(1+b*j) = 1-b*j
1/(a+b*j) = 1/a-(b/a^2)*j
(a+b*j)^2 = a^2+2*a*b*j
(a+b*j)^3 = a^3+3*a^2*b*j
对于i^2=-1的虚数,对于任意m,无论分数还是非分数,(a+b*i)^m的值, 仍然在任意分布的数域里。而对于半虚数,则不存在任意分布的数域, 只能在相当有限度的数域里,可以称这一“离散”的间断的特征为凝聚态。
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