几年前在CodinGame上遇到过一道没解出的题。最近再看到，思路阔然开朗，感慨颇多。

题目是一段简单代码，核心只有一行表达式（原题见附件）：

输出 array b 为：

要求反推输出 array a

一直觉得相关专业的教材，行文逻辑对新人极不友好。比如抽象代理中介绍RSA原理，开篇就是：

给定两个大素数 p 和 q

这不是在解释密码学原理，只是凭空给到的实现工序。如果诚心教学，应该从设计初衷讲起：

message encrypt = cipher

cipher decrypt = message

有了最简PoC之后 => 再披露安全缺陷 => 然后才有动机引入欧拉函数，而不是颠倒过来讲。至于AI，在稍复杂数学问题上的解释能力，更是惨不忍睹。

我无法去改变行业现状，只能轮到自己写writes up的时候，更用心些。

i j 双循环即是二维平面，每个格子代表了第i列、第j行，直观来看代码逻辑就是在遍历棋盘。

不难看出，a[i/32] >> (i%32) 中的 i/32  代表了入参的第几个block、 i%32 代表了第几个block下的偏移量，合在一起就是在取整体入参序列的第 i 位（j同理）。

... & ... & 1 可以理解为取行、列值同时为1的格。

b[(i+j)/32] ^= ... << ((i+j)%32) ，可以理解为上述格在斜线上的求和（因为同一斜线中每个格子的 i+j 恒定）。

至此，我们对这段代码的几何意义有了直觉理解。接下来要做的就是配平这枚魔方。

几何理解只是一个锚点，他帮助我们产生进一步联想。看到这个纺锤状的图形，很容易回忆起小学时的乘法竖式。

我们列出 x3x2x1x0 * y3y2y1y0 的竖式，体会下

不难发现：末行的表达式恰好贴合本题的代码逻辑（只不过这里的加法需要重定义为不进位加法，即：异或）。

那么，这份代码本质上在做以下事情：

输出B = 输入A的前半段 x 输入A的后半段

至此，课题退化为已知公案：大数因数分解“易题”（与RSA的自然数分解不同，由于这里乘法不带进位，应属于伽罗瓦域运算）

从这里开始，解题思路走到了一个关键的岔路口，摆在面前有两个方向。

我认为本手就应该继续配平魔方，机制很明确：

每拨动1位横坐标+1位纵坐标，会产生1个新增黑点，同时产生若干灰点（余数）。

多个余数组合，又恰好产生新的黑点。

核心命题是如何在这套体系下，归纳出能独立扰动单格输出槽位的公式。这是人类最能直观理解的方向。

另外一种取巧的方向，是直接复用整数环上的因数分解攻击方案，在本题的语境下做合理外推。

套用既有公式得到端到端的答案，代价是丢失对计算过程的直觉理解。

碍于精力有限，我暂时选了方向 2。

但我们很难评判，鸡兔同笼的巧思，被解方程这种工具彻底取代后，到底是人类思想的进步还是退化。

我粗浅的理解是，数学只是人类对世界规律的有损压损，不是世界本身。如果不回归到生活经验，最终会走向歧途。

因数分解问题主要有三个攻击方案（不考虑Shor算法）

Pollard Rho（差速指针）

二次筛法

数域筛法

理论上RSA的攻击方案，在重载操作符后，对本题都应该适用。

我最先尝试了 Pollard Rho，由于算法本身存在概率缺陷，解不了本题。

紧接着尝试二次筛法。在伽罗瓦域上确实存在一个与二次筛法思路接近的方案，即：Berlekamp算法。

让我们从零开始反推下Berlekamp算法的设计思路。

把 B 分解为 A1 * A2

如果我们想要地毯式搜寻 A1 * A2 这株独苗，命中概率显然小得可怜。有没有可能放宽条件呢？

        可以尝试先找到A1的一个倍数，与B辗转相除求最大公约数，这样也能得出A1（平凡因子除外）

如此，问题从找A1，转变为找n倍的A1，靶面立刻被放大了无数倍。

这类倍数思想在素数领域很常见，所以最先容易联想到。比如最简单的判断素数方法，就是在自然数序列中，把2的倍数、3的倍数、4的倍数依次拉黑，那么剩余没人认领的数就是素数。

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