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RSA 1024有多少对素数乘积可用?
2^1024位的素数是不是只有一个,还是多个,RSA公司挑了个难分解的? GOOGLE了下。RSA2048都能国产了。。。。。 ET199硬件实现512、1024、2048位的RSA运算功能 http://rockey.com.cn/et199/product.php |
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[讨论]223/71 ~ 22/7
看来是后人给算的: 圆内接正12288边形和正24576边形的边长而得出来 根据《隋书·律历志》的记载,祖冲之把一丈化为一亿忽,以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数:一个是盈数(即过剩的近似值),为3.1415927;一个是朒数(即不足的近似值),为3.1415926。圆周率真值正好在盈朒两数之间。《隋书》只有这样简单的记载,没有具体说明他是用什么方法计算出来的。不过从当时的数学水平来看,除刘徽的割圆术外,还没有更好的方法。祖冲之很可能就是采用了这种方法。因为采用刘徽的方法,把圆的内接正多边形的边数增多到24576边时,便恰好可以得出祖冲之所求得的结果。 盈朒 两数可以列成不等式,如:3.1415926(*)<π(真实的圆周率)<3.1415927(盈),这表明圆周率应在盈朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯,祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113(约等于3.1415927),这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”。另一个是了(约等于3.14),这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它为“约率”。在欧洲,直到1573年才由德国数学家渥脱求出了355/113这个数值。因此,日本数学家三上义夫曾建议把355/113这个圆周率数值称为“祖率”,来纪念这位中国的大数学家。 由于祖冲之所著的数学专著《缀术》已经失传,《隋书》又没有具体地记载他求圆周率的方法,因此,我国研究祖国数学遗产的专家们,对于他求圆周率的方法还有不同的见解。 有人认为祖冲之圆周率中的“朒数”。是用作圆的内接正多边形的方法求得的;而“盈数”则是用作圆的外切正多边形的方法求得的。祖冲之如果继续用刘徽的办法,从圆的内接正六边形算起,逐次加倍边数,一直算到内接正24576边形时,它的各边长度总和只能逐次接近并较小于圆周的周长,这正多边形的面积也只能逐次接近并较小于圆面积,从此求出的圆周率为3.14159261,也只能小于圆周率的真实数值,这就是朒 数。从祖冲之的数学水平来看,突破刘徽的方法,从外切正六边形算起,逐次试求圆周率,也是可能的。如果祖冲之把外切正六边形的边数成倍增加,到正24576边形时,他所求得的圆周率应该是3.14159270208。这个数是用外切方法求得的。由于外切正多边形各边边长的总和永远大于圆周的长度,这正多边形的面积也永远大于圆面积,所以这个数总比真实的圆周率大。用四舍五入法舍去小数点七位以后的数字,就得出盈数。 祖冲之究竟是否同时用过内接和外切这两个方法求出圆周率的朒数和盈数,是没有确切史料可以证实的。但是采用这个办法所求出的朒、盈两个数值,和祖冲之原来所求出的结果大体是一致的。所以有些数学史家认为祖冲之曾用过作圆的外切正多边形的方法求得圆周率,是很近情理的推想。 但是根据另一些数学史家的研究,盈、朒两数也可以由计算圆内接正12288边形和正24576边形的边长而得出来。不过这种计算比较难懂,这里不说了。 尽管说法有出入,但是祖冲之曾经求得“密率”,并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围,是可以肯定的。在一千五百年前,他有这样的成就和认识,真值得我们钦佩。 在推算圆周率时,祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起,算到24576边时,就要把同一运算程序反复进行十二次,而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算,也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算,只能用筹码(小竹棍)来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细,没有坚韧不拔的毅力,是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神,是很值得推崇的。 祖冲之死后,他的儿子祖暅(xuan玄)继续父亲的研究,进一步发现了计算圆球体积的方法。 在我国古代数学著作《九章算术》中,曾列有计算圆球体积的公式,但很不精确。刘徽虽然曾经指出过它的错误,但究竟应当怎样计算,他也没有求得解决。经祖暅刻苦钻研,终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算圆球体积的公式是:圆球体积=π/c D(D代表球体直径)。这个公式一直到今天还被人们采用着。 祖冲之还曾写过《缀术》五卷,是一部内容极为精采的数学书,很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定:学员要学《缀术》四年;政府举行数学考试时,多从《缀术》中出题。后来这部书曾经传到朝鲜和日本。可惜到了北宋中期,这部有价值的著作竟失传了 |
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