还不太难，被名词吓坏的还有范畴，层，滤子，HOPF，格拉斯曼。。。，但看定义都象哲学词汇，书上说5年就出一种代数结构，比得上CPU换代了
一个
形式背景 是一个三元组FC=(G, M, I)，其中G、M是非空有限集合，I G M是G和M之间的二元关系。G为对象集合，M为属性集合。若(g, m) G M，即(g, m) I，则称对象g具有属性m。
一个形式背景实际上与数据库中的一张二维表类似，对象相当于表的记录，而属性则相当于表的字段，对象与属性之间的关系相当于表中记录与字段的关系。
给定一个形式背景FC=(G, M, I)，若一个对象属性序偶(X, Y) P(G) P(M)使得X↑=Y且Y↓=X，则序偶(X, Y)是形式背景FC的一个形式概念（Formal Concept），简称概念。其中X称为形式概念的
外延 ，Y称为形式概念的
内涵 。
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概形 是代数几何学中的一个基本概念。
[编辑] 定义
给定一个局部戴环空间，X的一个开集V称为仿射开集，如果是仿射概形。
一个局部戴环空间称为概形，如果X的每一点x都有仿射开临域，即包含x的仿射开集。
直观上说，概形是由仿射概形粘起来得到的，正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。
两个概形之间的态射就是它们作为局部戴环空间的态射。
[编辑] 历史
概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“
预概形 ”（法语：préschéma，英语：
prescheme ），1967年左右改称现名。
概形的中文名称源自日文“概型”。
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态射（morphism ）是两个数学结构之间保持结构的过程的一种抽象。
最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。例如，在集合论中，态射就是函数，在群论中，它们是群同态，而在拓扑学中，它们是连续函数。在
泛代数（universal algebra） 的范围，态射通常就是同态。
对态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象（不必是集合）间的箭头。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域（domain）和
陪域（ codomain）间的某种关系。
尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观（事实上包括大部分术语）来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而态射就是保持这种结构的函数。
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一个范畴C由两个数据给定：一个对象的类和一个态射的类。
有两个操作定义在每个态射上，域（domain）（或源）和陪域（codomain）（或目标）。
态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示，例如若一个态射f域为X而陪域为Y，它记为f : X → Y。所有从X 到Y的态射的集合记为homC(X,Y)或者hom(X, Y)。（有些作者采用MorC(X,Y)或Mor(X, Y)）。
对于任意三个对象X，Y，Z，存在一个二元运算 hom(X, Y) × hom(Y, Z) → hom(X, Z)称为复合。f : X → Y和g : Y → Z的复合记为或gf（有些作者采用fg）。态射的复合经常采用交换图来表示。例如
态射必须满足两条公理：
存在恒等态射：对于每个对象X，存在一个态射idX : X → X 称为X上的恒等态射，使得对于每个态射f : A → B 我们有。
满足结合律：在任何操作有定义的时候。
在泛代数中研究的具体范畴（例如群，环，模，等等），态射称为同态。术语同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。
在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为
同胚 。
在光滑流形范畴中，态射是
光滑函数而同构称为微分同胚 。
函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
在
函子范畴中，态射是自然变换 。
若f : X → Y 和 g : Y → X 满足可是证明f是满的而g是单的，而且 : X → X是幂等的.这种情况下，
f和g称为分割（split）. f称为g的
收缩（retraction ）而g称为f的
截面(SECTION )。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。
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类 区分为两种：
定义1.2 如果存在类B,而类A满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。
定义1.2说明，一个集合是类的一种，它可以成为其它类的一个元素，这也正是集合的"严格"定义。
有另一种集合的定义：已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的，可以构成一个类A。类A则是一个集合，或者说是B的一个子类。但对此种定义，人们可以提出质疑，不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。
集合能进行各种类运算。
真类 不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类，对于真类，类运算并不一定都能进行。
一个真类却不能成为其它类的元素。因此我们可以理解为“本性类是最高层次的类”。
罗素悖论等于用反证法证明了真类的存在。但真类是抽象难理解的。
但是，“
类和集合是非常一般的概念，什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合，哪些类是真类，任何时间，总有一些类无法确定其到底是不是集合 。”
完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的
外延
一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质(也就是说不是该类的元素就不具有该性质)通俗地称为该类的
内涵 。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”：类的内涵越多，其外延越小；内涵越少，其外延越大。
对于类的内涵问题，我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类
公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类 ”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。
定义 类A如果满足条件“”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为Set(A)。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个
本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。
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在给定拓扑空间X上的一个
层(sheaf )(或译束、捆)F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U)。这个结构F(U)和把开集限制(restricting)到更小的子集的操作相容，并且可以把小的开集粘起来得到更大的。一个预层(
presheaf) 和一个层相似，但它可能不可以粘起来。事实上，层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质，就像应用在函数上的层。
我们要在越来越靠近点x时取某种极限。相应的概念是F(N)在N跑遍x的以包含关系排序的领域时的有向极限(direct limit)(用范畴论术语，这是一个余极限(colimit)的例子)。我们把该极限记为Fx并称它为F在x的
茎(stalk)。 如果F是X上的C-值层，则茎Fx是C的一个对象，对于像交换群范畴或交换环范畴这样的范畴来说。
对于任意包含x的开集U，存在一个从F(U)到Fx的态射。如果C是一个具体范畴，则应用这个态射到Fx中的一个元素f上就得倒Fx的一个元素，称为f在x的
芽(germ)。
一个芽(germ),或称芽胚，是从一个拓扑空间到另一个的连续函数的一个等价类(例如从实直线到自身)，其中定义域中的一个点x0被特别选出。两个函数f和g是等价的，当且仅当存在一个x0的开邻域U，使得对所有x ∈ U, 等式f(x) = g(x)成立。所有f在点x0的局部性质仅依赖于f属于哪一个芽。
当空间是黎曼曲面时，芽可以视为幂级数，因而芽的集合可以视为解析函数的解析开拓(analytical continuation)。黎曼曲面条目中有更多关于那个意义下的芽的细节。
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有格罗滕迪克拓扑的一个范畴称为一个
site（站）。
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一个
纤维丛是一个局部看来像两个空间的直积的空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛对应一个连续满射
π : E → B
并对每个 E 的局部空间(需存在 B 的局部空间能够保持上述的满射)，都存在一个 F ( F 称作纤维空间)，使得 E 与 直积空间B × F 同胚。(通常会用此满射 :π : E → B 来表示一个纤维丛，而忽略 F )
(这里局部表示在B上局部。) 一个可以整体上如此表达的丛(通过一个保持π的同胚)叫做
平凡丛 。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。
纤维丛扩展了矢量丛，矢量丛的主要实例就是流形的切丛。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。
令E = B × F 并令π : E → B为对第一个因子的投影，则E是B上的丛.这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛.
莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带(Möbius strip). 莫比乌斯带是一个以圆为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点 的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象π − 1(U)在图中是个 (有些扭转的)切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转.
相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱, 但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间).
一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环， S1 × S1.
一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。
纤维丛的一个特例，叫做矢量丛,是那些纤维为矢量空间的丛(要成为一个矢量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群)。矢量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。
另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。
一个球丛是一个纤维为n维球面的纤维丛。给定一个有度量的矢量丛(例如黎曼流形的切丛),可以构造一个相应的单位球丛,其在一点x的纤维是所有Ex的单位矢量的集合.
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