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[求助]ECC自学贴疑问：
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发表于: 2010-6-3 17:52
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改了，那逆乘好多算错了，但还是有4个求2G也不在曲线上
选了素数域类GP(11,1,3):
1
说P是素数，该有限域全解点关与y=11/2=5对称，怎麽会有（3，0）这个孤立的？
2
这GP(11,1,3)，怎只有4个能求G的标量乘？
3
哪有能画椭圆曲线的工具，下了几个都不能，Mathematics v9.0又是ISO的，不好用
4
哪有能求乘法逆元和多项式逆元工具----不要源代码，那个欧扩表累死人，
=======================
ECC自学习贴：
一
素数域类GP(11,1,3):
y^2=x^3+ax+bmod(p)
例：p=11,a=1,b=3
y^2=x^3+x+3mod11 ,4a^3+27b^2mod11=4,非0，满足条件
1
求满足条件的解：
x=0 y=5，y=6
x=1 y=4，y=7
x=2 y无解
x=3 y=0，
x=4 y无解
x=5 y=1，10
x=6 y=4，y=7，
x=7 y无解
x=8 y无解
x=9 y=2 y=9
共有10个点，8个点关于y=11/2 对称。O（∞，∞）---很难理解，这y^2=x^3+ax+bmod(p) 自己选的
（0，5），（0，6），（1，4），（1，7），（6，4），（6，7），（9，2），（9，9），（3，0）（∝，∝）
2
a)试选生成元（0，6），
G=(0,6):
λ =(3*0^2+1)/2*6=1/12mod11= 1
x=1
y=[1(0-1)-6]mod11=4
2G=G+G=(1,4) 在曲线上
b)
试选生成元（0，5），
λ=1/10mod11=10
x=(100-0)mod11=1 在曲线上
y=[10(-1)-5]mod11=7
2G=G+G=(1,7)
c)
试选生成元（1，4)
λ=1/2mod11=6
x=(36-2)mod11=1 在曲线上
y=(6*0-4)mod11=7
2G=G+G=(1,7)
d)
试选生成元（1,7)
λ=2/7mod11=(8mod11+8mod11)mod11=5
x=(25-2)mod11=1
y=(5*0-7)mod11=4 在曲线上
2G=G+G=(1,4)
e)
试选生成元（6,4)
λ=109/8mod11=5/4mod11=4
x=(16-12)mod11=4
y=[4(6-4)-4]mod11=4 (4,4) 不在曲线上
f)
试选生成元（6,7)
λ=109/14mod11= 5/4mod11=4
x=4
y=4 不在曲线上
g)
试选生成元（9,2)
λ=244/4mod11=6
x=18mod11=7
y=10 不在曲线上
k)
试选生成元（9,9)
λ=244/18mod11=610mod11=5
x=7
y=1 不在曲线上
l)
试选生成元（3,0)---------------自身的逆元？
λ=∝
10个点求自加，有4个还在曲线上
3
（0，5），（0，6），（1，4），（1，7）
选（0，5）求3G-10G看看：
a)
（0，5）
2G=G+G=(1,7)
3G=2G+G
λ=2mod11=2
x=-8mod11=3
y=-11mod11=0
3G=(3,0)
4G=3G+G 或 4G=2G+2G
λ=-5/3mod11=2 λ=4/14MOD11=5
x=1 x=1
y=-7mod11=4 y=-7mod11=4
5G=2G+3G G=(0,5) 2G=(1,7) 3G=(3,0）
λ=-7/2mod11=2
x=1
y=-7mod11=4 5G 和 4G同一个点，怪
6G=5G+G 6G=3G+3G
λ=-1MOD11=10 λ=∝ 不一样，选曲线没选好？
x=99mod11=0 x=
y=-5mod11=6
7G= 6G+G G=(0,5) 6G=(0,6) 7G=3G+4G 7G=2G+5G 2G=(1,7),5G=(1,4)
λ= ∝ λ= -2MOD11=9 λ= ∝
x=79MOD11=2
Y=9
看来曲线没选好，没法正确求标量乘。。。。。。。。。
选了素数域类GP(11,1,3):
1
说P是素数，该有限域全解点关与y=11/2=5对称，怎麽会有（3，0）这个孤立的？
2
这GP(11,1,3)，怎只有4个能求G的标量乘？
3
哪有能画椭圆曲线的工具，下了几个都不能，Mathematics v9.0又是ISO的，不好用
4
哪有能求乘法逆元和多项式逆元工具----不要源代码，那个欧扩表累死人，
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ECC自学习贴：
一
素数域类GP(11,1,3):
y^2=x^3+ax+bmod(p)
例：p=11,a=1,b=3
y^2=x^3+x+3mod11 ,4a^3+27b^2mod11=4,非0，满足条件
1
求满足条件的解：
x=0 y=5，y=6
x=1 y=4，y=7
x=2 y无解
x=3 y=0，
x=4 y无解
x=5 y=1，10
x=6 y=4，y=7，
x=7 y无解
x=8 y无解
x=9 y=2 y=9
共有10个点，8个点关于y=11/2 对称。O（∞，∞）---很难理解，这y^2=x^3+ax+bmod(p) 自己选的
（0，5），（0，6），（1，4），（1，7），（6，4），（6，7），（9，2），（9，9），（3，0）（∝，∝）
2
a)试选生成元（0，6），
G=(0,6):
λ =(3*0^2+1)/2*6=1/12mod11= 1
x=1
y=[1(0-1)-6]mod11=4
2G=G+G=(1,4) 在曲线上
b)
试选生成元（0，5），
λ=1/10mod11=10
x=(100-0)mod11=1 在曲线上
y=[10(-1)-5]mod11=7
2G=G+G=(1,7)
c)
试选生成元（1，4)
λ=1/2mod11=6
x=(36-2)mod11=1 在曲线上
y=(6*0-4)mod11=7
2G=G+G=(1,7)
d)
试选生成元（1,7)
λ=2/7mod11=(8mod11+8mod11)mod11=5
x=(25-2)mod11=1
y=(5*0-7)mod11=4 在曲线上
2G=G+G=(1,4)
e)
试选生成元（6,4)
λ=109/8mod11=5/4mod11=4
x=(16-12)mod11=4
y=[4(6-4)-4]mod11=4 (4,4) 不在曲线上
f)
试选生成元（6,7)
λ=109/14mod11= 5/4mod11=4
x=4
y=4 不在曲线上
g)
试选生成元（9,2)
λ=244/4mod11=6
x=18mod11=7
y=10 不在曲线上
k)
试选生成元（9,9)
λ=244/18mod11=610mod11=5
x=7
y=1 不在曲线上
l)
试选生成元（3,0)---------------自身的逆元？
λ=∝
10个点求自加，有4个还在曲线上
3
（0，5），（0，6），（1，4），（1，7）
选（0，5）求3G-10G看看：
a)
（0，5）
2G=G+G=(1,7)
3G=2G+G
λ=2mod11=2
x=-8mod11=3
y=-11mod11=0
3G=(3,0)
4G=3G+G 或 4G=2G+2G
λ=-5/3mod11=2 λ=4/14MOD11=5
x=1 x=1
y=-7mod11=4 y=-7mod11=4
5G=2G+3G G=(0,5) 2G=(1,7) 3G=(3,0）
λ=-7/2mod11=2
x=1
y=-7mod11=4 5G 和 4G同一个点，怪
6G=5G+G 6G=3G+3G
λ=-1MOD11=10 λ=∝ 不一样，选曲线没选好？
x=99mod11=0 x=
y=-5mod11=6
7G= 6G+G G=(0,5) 6G=(0,6) 7G=3G+4G 7G=2G+5G 2G=(1,7),5G=(1,4)
λ= ∝ λ= -2MOD11=9 λ= ∝
x=79MOD11=2
Y=9
看来曲线没选好，没法正确求标量乘。。。。。。。。。
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原来下的Mathematics v9.0是个假的。。。。
用5.0可以了，不过图还是不对，实数域的都不对，有理数域的连点都不出来。。。。。哪位懂Mathematics 看看哪红字含义 ：    
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\!\(\*GridBox[{
{\(f[ x_, a_, b_] := Sqrt[x^3 + a*x + b]; Table[Plot[{f[x, a, b], \(-f[x, a, b]\)}, {x . \(-3\), 5}, AspectRatio -> Automatic, TextStyle -> {FontFamily -> "\<cmr7\>", FontSize -> 7}], {a, 4, 0}, {b, \(-1\), 4}]; Show[GraphicsArray[\ %]]\)}, {"\[Placeholder]"} }]\) ===================== Plot[Sqrt[x^3 + x + 3], {x, 0, 100}] ====================== Clear[a, b, p, rc]; a = 1; b = 3; p = 11; If[PrimeQ , , Print[p, "not a prime"]]  |
