昨天，中娅之戒团队认为如果把街机少年的游戏改成“拿最后一个的输”，会很有意思。
我们进行了深入交流，并且都分别得出了必胜方案（我猜她们找我讨论之前就想到了）
这还不算完！
兔斯基保护协会决定应邀给出严谨的数学证明。
这次证明的是，如果把街机少年的游戏改成“拿最后一个的输”，存在必胜状态，使得从该状态下开始的玩家有必胜操作。
必胜玩法就在证明之中。
括号里的描述都可以删除，不影响证明的有效性，只是当注释方便阅读。
Proof:
上一篇证明（https://bbs.pediy.com/thread-256391.htm），我们知道
构造状态机：
S(1) 代表所有数字的异或和不是0，
S(0) 代表所有数字的异或和是0.
S(1) <-> S(0)
Theorem 1:
在 S(1) 下存在操作，使得游戏状态变为 S(0)
Therorem 2:
在 S(0) 下任何操作，使得游戏状态变为 S(1)
我们现在重新构造状态机：
S(0) 代表所有数字的异或和是0，所有数等于1.
S(1) 代表所有数字的异或和是0，且存在至少两个数大于1.
S(2) 代表所有数字的异或和是1，所有数等于1.
S(3) 代表所有数字的异或和不是0，且存在一个数大于1.
S(4) 代表所有数字的异或和不是0，且存在至少两个数大于1.
状态机已经涵盖了所有可能的状态。
必胜起始条件是 S(4)
本次的状态转换复杂一些，我们下文论证一下，再给出。
如果存在操作 S(4) -> S(0), 则 S(4) 至多存在一个大于1的数，与 S(4) 矛盾。
由 Theorem 1 我们知道，在 S(4)，存在操作，到达异或和是0的状态。
由于不存在 S(4) -> S(0)，所以，存在操作，使得 S(4) -> S(1)
在 S(3)，把大于1的那个数改成 1，可能得到 S(2) 或 S(0).
如果得到的是 S(0)，则把大于1的那个数改成 0 可得到 S(2).
所以在 S(3)，总是存在操作 S(3) -> S(2)
如果存在操作 S(1) - > S(2)，则 S(1) 至多存在一个大于1的数，与 S(1) 矛盾。
由 Therorem 2，我们知道在 S(1)，任何操作都使得游戏状态变为异或和不为 0 的状态。
由于不存在 S(1) -> S(2)，则，任何操作，是的 S(1) -> S(3) or S(4)
我们构造状态机：
S(4) <-> S(1) -> S(3) -> S(2) <-> S(0)
必胜玩家开始于 S(4), 必胜玩家在 S(4) 总是执行 S(4) -> S(1)，必胜玩家在 S(3) 总是执行 S(3) -> S(2)，
必败玩家只可能处于 S(1), S(2)
由于数字有限，改状态机在有限步内停机，所以最终必败玩家处于 S(2)，而必胜玩家获胜！
证毕！
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最后于 2019-12-10 17:42
被kanxue编辑
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